2.3.2双曲线的几何性质课时过关·能力提升1.如果双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离心率为()A.43B.53C.2D.3解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e¿53.答案:B2.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为()A.x24−y24=1B.y24−x24=1C.y24−x28=1D.x28−y24=1解析:由方程组{a=2,2a+2b=2√2c,a2+b2=c2,得a=2,b=2.因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y24−x24=1.答案:B3.过点(2,-2)且与x22−y2=1有公共渐近线的双曲线方程为()A.−x24+y22=1B.x24−y22=1C.−x22+y24=1D.x22−y24=1解析:由题意可设双曲线方程为x22−y2=k¿∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程为−x24+y22=1.答案:A4.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.1+√2B.2+√21C.3−√2D.3+√2解析:因为△F1PF2为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,故必有|F1F2|=|PF2|,即2c¿b2a,从而得c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解:之,得e=1±√2.∵e>1,∴e=1+√2.答案:A★5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m=()A.1B.2C.3D.4解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点为(0,13),一条渐近线为3y-mx=0.由题意知,1√32+m2=15,解得m=4.答案:D6.双曲线y225−x216=1的渐近线方程为.解析:利用公式y=±abx可得渐近线方程为y=±54x.答案:y=±54x7.已知双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:因为椭圆x225+y29=1的焦点坐标为(±4,0),所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),即c=4.又ca=2,c2=a2+b2,所以a=2,b2=12,所以双曲线方程为x24−y212=1.所以渐近线方程为y=±bax=±√3x,即√3x±y=0.答案:(±4,0)√3x±y=028.若双曲线x2k+4+y29=1的离心率为2,则k的值是.解析:利用双曲线的定义及离心率公式,可求得k=-31.答案:-319.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程:(1)过点P(3,−√2¿,离心率e=√52;(2)焦点在x轴上,F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°,S△PF1F2=12√3,离心率为2.解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)为所求.由e¿√52,得c2a2=54.①由点P(3,−√2¿在双曲线上,得9a2−2b2=1.②又a2+b2=c2,③由①②③,得a2=1,b2¿14.所求双曲线方程为x2−y214=1.若双曲线的焦点在y轴上,设y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)为所求.同理有c2a2=54,2a2−9b2=1,a2+b2=c2.解之,得b2=−172¿).故所求双曲线的标准方程为x2−y214=1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),因为|F1F2|=2c,而e¿ca=2,由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c.3由余弦定理,得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos60°),所以4c2=c2+|PF1|·|PF2|.又因为S△PF1F2=12∨PF1∨¿·|PF2|·sin60°=12√3,所以|PF1|·|PF2|=48.所以3c2=48,即c2=16,由此得a2=4,b2=12.故所求双曲线的标准方程为x24−y212=1.★10.如图所示,已知F1,F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.分析:由于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,故只需求出ba的值即可,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.解法一设F2(c,0)(c>0),把P(c,y0)代入方程得y0=±b2a,∴|PF2|¿b2a.在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|F1F2|¿√3∨PF2∨,即2c¿√3·b2a.∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.∴ba=√2.故所求双曲线的渐近线方程为y=±√2x.解法二∵在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a.∴|F1F2|¿√3∨PF2∨.∴2c=2√3a,即c2=3a2=a2+b2.∴2a2=b2.∴ba=√2.4故所求双曲线的渐近线方程为y=±√2x.5
