（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 第48课 基本不等式及其应用（二）要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第八章第48课基本不等式及其应用（二）要点导学要点导学各个击破基本不等式在方程与函数中的应用(2014·成都模拟)已知二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),那么1c+9a的最小值为.[答案]3[解析]由题意得a>0,且Δ=16-4ac=0⇒ac=4,所以1c+9a≥219·ca=3.(2014·湖北模拟)已知不等式xy≤ax2+2y2对于任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,那么实数a的取值范围是.[答案][-1,+∞)[解析]由题意知a≥22-2xyyx=yx-22yx,对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=yx,则a≥t-2t2,易知t∈[1,3],所以t-2t2∈[-15,-1],故a≥-1.基本不等式在数列、三角函数等问题中的应用已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得mnaa=4a1,则1m+4n的最小值为.[思维引导]首先根据条件找出m,n的关系式,再利用基本不等式求出1m+4n的最小值.[答案]32[解析]设正项等比数列{an}的公比为q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由mnaa=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故1m+4n=16(m+n)14mn=56+16（4mn+nm）≥56+46=32,当且仅当n=2m时等号成立.1[精要点评]将m+n=6表示为16(m+n)=1,利用“1”的变换是解决问题的关键.(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA+2sinB=2sinC,则cosC的最小值是.[答案]6-24[解析]由已知sinA+2sinB=2sinC及正弦定理可得a+2b=2c,cosC=222-2abcab=2222-22ababab=2232-228ababab≥26-228ababab=6-24,当且仅当3a2=2b2即ab=63时等号成立.基本不等式在解析几何中的应用(2014·扬州中学模拟)如图,已知椭圆C:24x+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线l:y=-2分别交于点M,N.(例3)(1)设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;(2)求线段MN的长的最小值.[解答](1)因为A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0,所以直线AP的斜率k1=00-1yx,PB的斜率k2=001yx.又点P在椭圆上,所以204x+20y=1(x0≠0),从而有k1k2=00-1yx·001yx=2020-1yx=-14,为定值.(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),2直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0),由1-1,-2ykxy13-,-2,xky由21,-2ykxy21-,-2,xky所以直线AP与直线l的交点N13-,-2k,直线BP与直线l的交点M21-,-2k.又k1k2=-14,所以MN=1231-kk=1134kk=13||k+4|k1|≥2113·4||||kk=43,当且仅当13||k=4|k1|,即k1=±32时取等号,故线段MN长的最小值是43.基本不等式在实际问题中的应用(2014·湖北卷)某项研究表明,在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:m)的值有关,其公式为F=2760001820vvvl.(1)如果不限定车型,l=6.05,那么最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.[答案](1)1900(2)100[解析](1)当l=6.05时,则F=27600018121vvv=7600012118vv≤760001212·18vv=1900,当且仅3当v=121v,即v=11(米/秒)时取等号.(2)当l=5时,则F=27600018100vvv=7600010018vv≤760001002·18vv=2000,当且仅当v=100v,即v=10(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.[精要点评]准确构建数学模型是解题的关键.本题根据所得函数的特征要结合基本不等式解决.(2014·如皋中学模拟)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为93m2,且高度不低于3m.记防洪堤横断面的腰长为x(m),外周长(梯形的上底BC与两腰长的和)为y(m).(变式)(1)求y关于x的函数关系式,并指出其定义域;(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5m,则其腰长x应在什么范围内?(3)当防洪堤的腰长x为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.[解答](1)由题意得93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2·2x=BC+x,h=32x,所以93=12(2BC+x)×32x,得BC=18x-2x.由33,218-0,2hxxBCx得2≤x<6.所以y=18...