课时跟踪检测（十五）导数的概念及运算[A级保分题——准做快做达标]1．曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0解析：选C由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.2．已知函数f(x)＝alnx＋bx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3解析：选D由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，所以f(1)＝1，即aln1＋b×12＝1，解得b＝1，所以f(x)＝alnx＋x2，故f′(x)＝＋2x.则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，所以a＋2＝－1，即a＝－3.3．(2019·珠海期末)曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选B由题意知点(1,3)在曲线y＝x3－2x＋4上． y＝x3－2x＋4，∴y′＝3x2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.4．(2019·青岛模拟)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2018(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析：选C f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，…，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现， 2018＝4×504＋2，∴f2018(x)＝f2(x)＝－sinx＋cosx，故选C.5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0,0)B．(1，－1)C．(－1,1)D．(1，－1)或(－1,1)解析：选Df′(x)＝3x2＋2ax，依题意，得解得或故选D.6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y＝kx＋2是函数f(x)＝x3－x2－3x－1图象的一条切线，则k＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：选C直线y＝kx＋2过(0,2)，f′(x)＝3x2－2x－3，设切点为(x0，y0)，故切线方程为y－y0＝(3x－2x0－3)(x－x0)，将(0,2)代入切线方程并结合y0＝x－x－3x0－1，解得x0＝－1，y0＝0，代入y＝kx＋2，解得k＝2.7．(2019·银川一中月考)设函数f(x)＝x3＋x2＋4x－1，θ∈，则导数f′(－1)的取值范围是()A．[3,4＋]B．[3,6]C．[4－，6]D．[4－，4＋]解析：选B求导得f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ＋4，将x＝－1代入导函数，得f′(－1)＝sinθ－cosθ＋4＝2sin＋4，由θ∈，可得θ－∈，∴sin∈，∴2sin＋4∈[3,6]．故选B.8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：选By′＝＝－，y′|x＝2＝－＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y＝x2－2x＋3上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是()A.B.C．[0，π)D.解析：选B因为y′＝2x－2,1≤x≤，所以0≤2x－2≤1.设切线的倾斜角为α，则0≤tanα≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤，故选B.10．(2019·广东七校联考)函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是()解析：选A法一：由题意，得f′(x)＝cosx＋x(－sinx)＝cosx－xsinx，f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数．又f′(0)＝1，所以排除C、D；令g(x)＝f′(x)＝cosx－xsinx，则g′(x)＝－xcosx－2sinx，易知g′(0)＝0，且当x∈时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，当x∈时，g′(x)>0，f′(x)单调递增，所以f′(x)在x＝0处取得极大值，排除选项B.故选A.法二：由题意，得f′(x)＝cosx＋x(－sinx)＝cosx－xsinx，又f′(0)＝1，所以排除C，D；当x∈时，y＝cosx单调递减，对于y＝xsinx，y′＝xcosx＋sinx>0...
