初三数学直线形知识精讲 人教版 试题VIP专享VIP免费

初三数学直线形知识精讲一.本周教学内容：直线形直线形是初中平面几何的基础知识，其中三角形是构成多边形的基础图形，而全等三角形的知识更为重要。全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。例1.已知，如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。分析：（1）欲证G是CE中点，即EG=CG，由条件DG⊥CE，所以只须证DG所在直线为CE中垂线，想到要连结DE，证出△DEC为等腰三角形。即DE=CD即可，由已知条件DC=BE=EA，△ABD为直角三角形，∴DE=BE=DC，则此题得到解决。（2）由第（1）问知：DC=DE，∴∠BDE=∠DEC+∠DCE=2∠DCE由BE=DE，∴∠B=∠BDE=2∠DCE。证明：（1）连结DE， ∠ADB=90°，E是AB中点，∴DE=AE=BE又 DC=BE，∴DC=DE又 DG⊥EC于G，∴G是EC中点（2） DE=DC，∴∠DCE=∠DEC∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE，又 DE=BE，∴∠B=∠EDB∴∠B=2∠BCE例2.如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B，求证：△DEF是等腰三角形。分析：从已知条件入手，由AB=AC，可得∠B=∠C ∠DEF=∠B，∴∠DEF=∠B=∠C又 ∠BEF=∠C+∠EFC（三角形外角等于不相邻的两内角和）又 ∠BEF=∠BED+∠DEF∴∠BED=∠EFC，从而得到△BDE≌△CEF∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形。证明：△DBE和△ECF中，BD=CE，AB=AC，∴∠B=∠C又∠BEF=∠BED+∠DEF=∠C+∠EFC，∠DEF=∠B∴∠BED=∠EFC∴△BDE≌△CEF，∴DE=EF∴△DEF是等腰三角形。例3.已知，如图，在△ABC中，（AB≠AC），D、E在BC中，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC，求证：AE平分∠BAC。分析： DF=AC，而DF、AC不在同一三角形中，也不在全等的两个三角形中，所以想到通过证三角形全等把DF与AC移动到同一三角形中，由DE=EC，即E是DC中点，延长FE到G，使EG=EF，可得到△DEF≌△CEG，进而得到CG=DF=AC，∠G=∠GAC，又可得到GC∥DF∥AB，∠G=∠BAG，∴∠BAG=∠GAC，即AG平分∠BAC证明：延长FE到G，使EG=EF，连结CG在△DEF和△CEG中，ED=EC，∠DEF=∠CEG，FE=EG∴△DEF≌△CEG，∴DF=GC，∠DFE=∠G∴DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE DF=AC，∴GC=AC，∴∠G=∠CAE∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC。例4.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF。分析：要证的两条线段AC、BF不在两个能全等的三角形中，因此证AC=BF较困难，于是想到通过添加辅助线，把AC、BF转化到一个三角形中。由于AD是中线，所以常采用倍长中线的方法添加辅助线，再通过全等三角形的证明得到结论，类似于上一题。证明：延长AD到H，使DH=AD，连结BH AD是△ABC的中线，∴BD=DC又 ∠BDH=∠CDA，DH=AD∴△BDH≌△CDA∴BH=CA，∠H=∠DAC AE=EF，∴FAE=∠AFE又 ∠AFE=∠BFD，∴∠H=∠BFD∴BH=BF，∴BF=AC例5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G，求证：BD=CG分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF，由于全等条件不足，所以考虑先证△AEC≌△CFB，进而得到证△CGE≌△BDF的条件。证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中 AC=CB，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，∴∠AEC=∠CFB=90°又∠ACB=90°，∴∠CAE=90°－∠ACE=∠BCF∴Rt△AEC≌Rt△CFB，∴CE=BF在Rt△BFD和Rt△CEG中，∠F=∠GEC=90°，CE=BF∠FBD=90°－∠FDB=90°－∠CDH=∠ECG，∴Rt△BFD≌Rt△CEG∴BD=CG例6.已知：如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，AC=2，∠BAC的平分线交BC于D，求AD的长。分析：此题图形虽然简洁，但内涵很丰富。由已知条件，可由∠BAC=120°，AD平分∠BAC得到∠BAD=∠CAD=60°。但没有特殊三角形，如直角三角形或等边三角形，所以要求AD的长，只能另想办法。这时我们想到要构造平行线，利用比例性质去求。常解：法一：过D作AC的平行线交AB于E， AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=60°又 ∠EDA=∠CAD=60°∴△AED是等边△设AD=x则AE=DE=x，BE=3－x法二：过C作AD的平行线交BA的延长线于F，∴∠BAD=∠CAD=∠F=∠ACF=60°∴△ACF是等边三角形。∴AF=CF...