第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设f(x)是可导函数,且limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=2,则f'(x0)=()A.2B.-1C.1D.-2解析limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=limΔx→0f[x0+(-Δx)]-f(x0)-Δx=f'(x0)=2.故选A.答案A2.(2020湖南高二期末)一质点做直线运动,经过t秒后的位移为s=13t3-52t2+4t,则速度为零的时刻是()A.1秒末B.4秒末C.1秒末或4秒末D.0秒或4秒末解析因为s=13t3-52t2+4t,所以s'=t2-5t+4,令t2-5t+4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末,故选C.答案C3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(-1,-4)D.(2,8)和(-1,-4)解析依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故P0点的坐标为(1,0),(-1,-4),故选C.答案C4.函数f(x)=3x2+lnx-2x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.无数个解析函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x, x>0,g(x)=6x2-2x+1中Δ=-20<0,所以g(x)>0恒成立.故f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.答案A5.函数f(x)=(x2+tx)ex(实数t为常数,且t<0)的图象大致是()解析由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C;函数的导数f'(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex,当x→-∞时,f'(x)>0,即在x轴最左侧函数f(x)为增函数,排除D;故选B.答案B6.若函数f(x)=asinx+cosx在[-π3,π4]为增函数,则实数a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,-√3]C.[-√3,1]D.(-∞,-√3]∪[1,+∞)解析依题意,f'(x)=acosx-sinx≥0在区间[-π3,π4]上恒成立,即acosx≥sinx.当x∈[-π3,π4]时,cosx>0,故a≥sinxcosx=tanx,y=tanx在x∈-π3,π4时为递增函数,其最大值为tanπ4=1,故a≥1.所以选A.答案A7.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),若满足f(x)+xf'(x)>1,则下列结论:①f(-1)>0;②f(1)<0;③2f(-2)>f(-1);④2f(1)>f12中,正确的个数是()A.4B.3C.2D.1解析令h(x)=xf(x)-x,所以h'(x)=xf'(x)+f(x)-1,因为函数f(x)满足f(x)+xf'(x)>1,所以h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函数,因为h(-1)=-f(-1)+1
1>0,故①正确.因为h(1)=f(1)-1>h(0)=0,所以f(1)>1,故②错误.因为h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1>f(-1),故③正确.因为h(1)=f(1)-1>h12=12f12-12,所以2f(1)>f12+1>f12,故④正确.故选B.答案B8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是()A.(0,√e]B.(0,√e)C.(0,1e]D.(0,1e)解析因为f'(x)=1+1x,故f(x)=x+lnx+C,其中C为常数.因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+lnx+1.不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a在(0,+∞)有解.令g(x)=lnxx,则g'(x)=1-lnxx2,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)上为增函数;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)上为减函数;故g(x)max=g(e)=1e,所以00,ex(x+1),x≤0,若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b可取的值可能是()A.0B.12C.1D.2解析由题意,函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则g(x)=f(x)-b=0,即f(x)=b有三个根,当x≤0时,f(x)=ex(x+1),则f'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),由f'(x)<0得x+2<0,即x<-2,此时f(x)为减函数,由f'(x)>0得x+2>0,即-2
