高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x0处的导数(变化率)是f′(x0)或y′，即f′(x0)==，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x0处不可导.疑难疏引(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，Δx趋近于0可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.(3)是函数y=f(x)对自变量x在Δx范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x0，f(x0))及点(x0+Δx，f(x0+Δx))的割线斜率.(4)导数f′(x0)=是函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x0可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.(6)在定义式中，设x=x0+Δx，则Δx=x-x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，导数的定义式可写成f′(x0)==.(7)若极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.(8)若f(x)在x0可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)有切线，函数y=f(x)在x0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在xo不可导，曲线在点(x0，f(x0))也可能有切线，如切线平行与y轴时.一般地，(a+bΔx)=a，其中a，b为常数.特别地，a=a.如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即f′(x)=y′=.函数y=f(x)在x0处的导数y′就是函数y=f(x)在开区间(a，b)上导函数f′(x)在1x0处的函数值，即y′=f′(x0).所以函数y=f(x)在x0处的导数也记作f′(x0).二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x0处的导数就是导函数f′(x)在点x0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x0换成x即可，即f′(x)=.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是：(1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).(2)求平均变化率=.(3)取极限，得导数y′=.三、导数与切线的理解导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x0，f(x0))到另一点(x0+Δx，f(x0+Δx))函数值增量与自变量增量的比值，当Δx无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率.用运动变化的观念分析曲线C:y=f(x)上某点(x0，y0)的切线，从点(x0，y0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x0,y0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x0,y0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为Δx→0时，k==f′(x0)，或x→x0时，k==f′(x0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x0.四、导数的物理意义瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数.活学巧用1.如果一个质点从定点A开始沿直线运动的位移函数为y=f(t)=t3+3.(1)当t0=4且Δt=0.01时，求Δy和;(2)当t0=4时，求的值;(3)说明的几何意义.解析：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)...
