课时作业28函数的极值与导数知识点一函数极值的概念1.关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D．若f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案D解析易知选项A，B，C均不正确．对于D，不妨设x0是f(x)在区间(a，b)内的极小值点，则在x0附近，当xf(x0)，当x>x0时，f(x)>f(x0)，故在x0附近函数f(x)不单调，即f(x)在区间(a，b)内不是单调函数，故选D.2．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是()①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cosx－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④D．①③答案B解析①④为单调函数，不存在极值.知识点二求函数的极值3.函数y＝x3－3x2－9x(－20；当－10，故当x＝－1时，f(x)取极小值.知识点三已知函数极值求参数5.若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)，1即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).易错点对函数取极值的充要条件把握不准6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，求f(2)的值．易错分析应注意f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，尽管f′(0)＝0，但由于f(x)是增函数，故f(x)在x＝0处不存在极值．所以应对所得结果进行检验．解f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意，得即解得或当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，∴f(x)没有极值，不符合题意．综上可知f(2)＝18.一、选择题1．下列说法正确的是()A．若f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极小值B．若f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极大值C．若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)≤f(x0)D．极值点一定出现在定义区间的内部答案D解析A不正确，反例：f(x)＝，f(x)≥f(0)＝0，因为0是区间[0，＋∞)的端点，所以f(0)不是f(x)的极小值；B不正确，反例：f(x)＝－，f(x)≤f(0)＝0，同理f(0)不是f(x)的极大值；C不正确，由极值的定义知极大值不一定比定义域内的所有函数值都大；D正确．2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)答案B解析因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)>0，解得x>3或x<2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．3．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()2A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(0,1)D.答案C解析f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有00，符合题意．所以实数b的取值范围是(0,1)．4．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4...
