高中数学 2.7《平面向量应用》易错辨析同步教学例题讲解 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP免费

平面向量应用易错辩析运用向量知识解题常可收到化繁为简、化难为易的神奇功效，随着新教材的逐步实施，它已成为高考数学的新宠。但学生在初学这部分内容时，往往会出现这样或那样的错误，现列举几种常见错误，以期起到防患于未然的作用。一、忽略共线向量致误例1、已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且1||a，2||b，3||c，求向量cba的长度。错解：易知a、b、c皆为非零向量，设a、b、c所成的角均为，则3603，即120，所以，1120cos||||baba，同理3cb，23ac，由accbbacbacba222||2222=3，故3||cba。剖析：本例误以为a、b、c皆为非共线向量，而当向量a、b、c共线且同向时，所成的角也相等均为0，符合题意。正解：(1)当向量a、b、c共线且同向时，所成的角均为0,所以||cba6||||||cba；(2)当向量a、b、c不共线时，同错解.综上所述,向量cba的长度为6或3。二、忽视两向量夹角的意义致误例2、正ABC的边长为1，且aBC，bCA，cAB，求||cba的值。1错解：由于正ABC的边长为1，所以，60CBA且1||||||cba，所以，21cos||||Cbaba，同理可得21cb，21ac，由accbbacbacba222||2222=6，故6||cba。剖析：本题误以为a与b的夹角为BCA。事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是]180,0[，因此，a与b的夹角应为BCA180。正解：作BCCD，a与b的夹角即BC与CA的夹角为120180BCA，所以，21120cos||||baba，同理可得21cb，21ac，由accbbacbacba222||2222=0，故0||cba。三、忽视充要条件致误例3、已知)3,1(a，),2(b，设a与b的夹角为，要使为锐角，求的取值范围。错解：因为为锐角，所以0cos，由cos||||baba知，只须0ba，即0321，即32。剖析：本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是0ba，事实上，两向量的夹角],0[，当0时，有01cos，对于非零向量a与b仍有0ba，因此，0ba是两非零向量a与b的夹角为锐角的必要不充分的条件。即有如下结论：两非零向量a2与b的夹角为锐角的充要条件是0ba且a不平行于b。正解：由为锐角，得0cos且0，由cos||||baba，而||a、||b恒大于0，所以0ba，0321，即32；若a平行b则0321即6，但若a平行b则0或，与为锐角相矛盾，所以6；综上，32且6。四、忽视向量的特性致误例4、已知a、b都是非零向量，且向量ba3与ba57垂直，向量ba4与ba27垂直，求向量a与b的夹角。错解：由题意得0)27)(4(0)57()3(babababa，即083070151672222bbaabbaa，两式相减得023462bba，即0)2(bab，所以，0b（不合题意舍去）或02ba，由02ba知a与b同向，故向量a与b的夹角为0。剖析：本题误用实数的性质，即实数a、b若满足0ab则必有0a或0b，但对于向量a、b若满足0ba则不一定有0a或0b，因为由cos||||baba知与有关，当90时，0ba恒成立，此时a、b均可以不为0。正解：由前知bab22代入01516722bbaa得baa22，所以，3baba222，故21||||21||||cos22aababa。4