抛物线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－1|，则点P的轨迹为()A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆解析：方程变形为＝，表示P(x，y)到(1，2)的距离等于到直线3x＋4y－1＝0的距离，故P的轨迹为抛物线．答案：B2．抛物线y＝的焦点坐标为(0，－1)，实数a的值等于()A．4B．－4C.D．－答案：B3．已知两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是2，且a>b，则抛物线y2＝－x的焦点坐标为()A.B.C.D.答案：B4．已知抛物线y2＝2px(p>0)上点M(1，m)到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为()A．x＝4B．x＝2C．x＝－1D．x＝－2答案：D5．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为()A．1B．1或4C．1或5D．4或5解析：因为点M到对称轴的距离为4，所以点M的坐标可设为(x，4)或(x，－4)，又因为M到准线的距离为5，所以解得或1答案：B二、填空题6．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________．答案：y2＝16x或x2＝－8y7．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为________．解析：由题意，知动圆圆心到点F(0，3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x2＝12y.答案：x2＝12y8．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析：xM＋1＝10⇒xM＝9.答案：9三、解答题9．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是抛物线y2＝2px(p>0)上三点，且它们到焦点F的距离|AF|，|BF|，|CF|成等差数列．求证：2y＝y＋y.证明：由抛物线定义得|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|CF|＝x3＋.又|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，所以2|BF|＝|AF|＋|CF|，可得2x2＝x1＋x3，所以2y＝y＋y.10．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1m)解：如图所示，建立平面直角坐标系．2设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝.故得抛物线方程为x2＝－y.点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，因此所求水池的直径为2(1＋)m，约为5m，即水池的直径至少应设计为5m.B级能力提升1．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x答案：A2．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，3当且仅当点M在EQ上时取等号，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：43．一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．解：如图所示，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由已知条件可得，点A的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×0.5，所以p＝5.76.所以所求抛物线的标准方程是y2＝11.52x，焦点坐标是(2.88，0)4
