课时作业25一、选择题1．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是()A.甲大B.乙大C.相等D.无法比较解析：v1＝s′1＝3t2－4t＋1，v2＝s′2＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．答案：B2．下列求导数运算正确的是()A．(x＋)′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：对于A，(x＋)′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确，故选B.答案：B3．[2014·湖南模拟]曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为()A.－B.C.－D.解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为.答案：B4．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为()A．1B.C.D.解析：依据题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．根据导数的运算法则可以求得y′＝－2x，所以曲线在P点处的切线的斜率k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1，得x0＝－.故P点的坐标为(－，－)，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.答案：B二、填空题5．[2013·江西高考]设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.解析：令t＝ex，故x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝1＋1＝2.答案：26．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝__________.解析：f(x)＝(x2－4)(x－a)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4，又f′(－1)＝0，1即3×(－1)2－2a×(－1)－4＝0，∴a＝.答案：7．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，则f()的值为__________．解析：∵f(x)＝f′()cosx＋sinx，∴f′(x)＝－f′()sinx＋cosx.∴f′()＝－f′()sin＋cos.∴f′()＝－1.从而有f()＝(－1)cos＋sin＝1.答案：1三、解答题8．求下列函数的导数．(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝.解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋.(3)y′＝()′＝＝＝.9．已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解：f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，由已知得解得a＝，x＝e2，∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k＝f′(e2)＝，∴切线的方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.23
