第23讲平面向量的概念及其线性运算课时达标一、选择题1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是()A．①B．③C．①③D．①②A解析①正确；②中单位向量只是长度为1，但方向不一定相同，故②错误；③中AB与BA是相反向量，故③错误．2．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λbD解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D项正确．3．如图所示，在△ABC中，若BC＝3DC，则AD＝()A.AB＋ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB－ACC解析AD＝CD－CA＝CB－CA＝(AB－AC)＋AC＝AB＋AC.故选C.4．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不正确C解析由已知得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点O，若OA＋OB＋OC＝AB，则点O与△ABC的位置关系是()A．点O在AC边上B．点O在AB边上或其延长线上C．点O在△ABC外部D．点O在△ABC内部A解析因为OA＋OB＋OC＝AO＋OB，所以OC＝2AO，所以点O在边AC上．6．已知O是△ABC所在平面外一点且满足OP＝OA＋λ，λ为实数，则动点P的轨迹必须经过△ABC的()A．重心B．内心C．外心D．垂心B解析如图，设＝AF，＝AE，已知AF，AE均为单位向量，且四边形AEDF为平行四边形，故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC.由OP＝OA＋λ得AP＝λAD，又AP与AD有公共点A，故A，D，P三点共线，所以点P在∠BAC的平分线上，故动点P的轨迹经过△ABC的内心．二、填空题7．给出下列说法：①若两个单位向量的起点相同，则终点也相同；②若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；③0·a＝0.其中说法错误的序号是________．解析对于①，单位向量只是长度为1，起点相同，终点不一定相同；对于②，向量不可比较大小；对于③，0·a＝0，因此③正确．答案①②8．(2019·苏州二中期中)已知S是△ABC所在平面内任一点，D是SC的中点，若BD＝xAB＋yAC＋zAS，则x＋y＋z＝________.解析依题意得BD＝AD－AB＝(AS＋AC)－AB＝－AB＋AC＋AS，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.答案09．已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________．解析由5AM＝AB＋3AC得2AM＝2AD＋3AC－3AM，即2(AM－AD)＝3(AC－AM)，即2DM＝3MC，故DM＝DC，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.答案3∶5三、解答题10．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解析(1)延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝BF，又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解析d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，所以得λ＝－2μ.故存在实数λ，μ，当λ＝－2μ时，d与c共线．12．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若AE＝mAB＋AD，求实数m的值．解析由N是OD的中点得AN＝AD＋AO＝AD＋(AD＋AB)＝AD＋AB，又因为A，N，E三点共线，故AE＝λAN，即mAB＋AD＝λ，所以解得故实数m＝.13．[选做题](2019·扬州中学月考)已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足PA＋xPB＋yPC＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为()A.B.C．1D．2D解析由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.因为P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，所以λ1＝，所以λ2＋λ3＝，所以λ2λ3≤2＝，当且仅当λ2＝λ3＝时，等号成立，所以λ2λ3取最大值时，P为EF的中点．延长AP交BC于M，则M为BC的中点，所以PA＝PM，所以PA＝－PM＝－(PB＋PC)，又因为PA＋xPB＋yPC＝0，所以x＝y＝，所以3x＋y＝2.故选D.
