2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算高效测评新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论：①(sinx)′＝－cosx；②′＝；③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：(sinx)′＝cosx，故①错误；′＝－，故②错误；(log3x)′＝，故③错误；(lnx)′＝，故④正确．答案：B2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值等于()A．4B．－4C．5D．－5解析：∵f′(x)＝(xα)′＝α·xα－1.由题意f′(－1)＝－4，即α·(－1)α－1＝－4.∴α＝4.答案：A3．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为()A.B．C.D．解析：f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切线的倾斜角为.答案：B4．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为()A.B．π2C.D．2π2解析：切线方程为y＝－x，故围成的三角形的面积为.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．解析：y′＝[(x＋1)2(x－1)]′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1∴y′|x＝1＝4.答案：46．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：利用导数的几何意义先求得切线斜率．1∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－3三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数．(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log2x2－log2x.解析：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋.(3)y′＝′＝＝＝.(4)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.(5)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝.8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．解析：∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由图象可知f′(1)＝0，f′(2)＝0.∴3a＋2b＋c＝0，①12a＋4b＋c＝0，②又函数f(x)的图象过点(1,5)，∴f(1)＝5，即a＋b＋c＝5③由①②③可得a＝2，b＝－9，c＝12.∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.9．(10分)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b，c的值．解析：由题意得：f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知即故b＝0，c＝1.2
