高二数学圆锥曲线的最值问题人教实验版（B）知识点分析VIP免费

高二数学圆锥曲线的最值问题人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：圆锥曲线的最值问题二.本周学习目标圆锥曲线最值问题是解析几何中的重要问题之一。它的求解常常涉及到函数、不等式、方程、三角以及平面几何等方面的知识，综合性较强。对学生来说是一个难点，但同时又是数学高考中的热点问题.三.考点分析圆锥曲线中最值的求法有两种：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现这一明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值常用的方法：配方法，判别式法，重要不等式法及函数的单调性法。【典型例题】例1.点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3，求动点P与定点)345(P1，距离的最大值。错解：设动点P（x，y）到直线x=8的距离为d，则31d|PF|，即31|8x|y)2x(22两边平方，整理得129y)49()45x(222由此式可得222)49()y921()45x(因为221)3y()45x(|PP|161377)24y(81)3y()49()y921(2222所以15343161377|PP|max1剖析：由上述解题过程知，动点P（x,y）在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了223y223这一取值范围，由以上解题过程知，|PP|1的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决。即当223y时，2233|PP|max1例2.求过直线240xy和圆222410xyxy的交点，且面积最小的圆的方程.解法一：当半径最小时，圆面积也最小，设所求圆的方程为：22241(24)0xyxyxy即222(1)(4)(14)0xyxy即222458(1)()()245xy+4585当时，此圆面积最小。故满足条件的圆的方程为：221364()()555xy解法二：当圆心在直线240xy上时，圆面积最小，由（一）易求得圆心坐标为4((1),)2代入直线方程得42(1)402解之得85故当85时，此圆面积最小。故满足条件的圆的方程为221364()()555xy例3.求椭圆上的点到直线的距离的最小值.分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值.解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为.当时，.说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.例4.设，，，求的最大值和最小值.分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致.设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解：由，得123492322yx可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点.设，则它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为.在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示.观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即，此时；当圆过（3，0）点时，半径最大，即，∴.∴的最小值为0，最大值为15.例5.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法1：设椭圆为92222ayax=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：(2a2―9)x2+18a2x+90a2―a4=0，由题设△=(18a2)2―4(2a2―9)(90a2―a4)≥0a4―54a2+405≥045099452222aaaa或故amin=35，得（2a）min=65,此时椭圆方程为1364522yx.解法2：设椭圆92222ayax=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,sin92a)，则acosα―sin92a+9=0有解.)cos(922a=―9cos(α+)=9292a，|9292a|1922a≥9a2≥45,amin=35，得（2a）min=65,此时椭圆的方程1364522yx.解法3：先求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线与椭圆的交点为M，则2a=|MF1|+|MF2|=|MF|+|MF2|≥|FF2|=65，于是(2a)min=65,易得a2=45,b2=36，此时椭圆的方程为1364522yx.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线...