3.2.2复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测一、选择题1．若复数z满足＝i其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1－iD.－1＋i解析：由＝i，得＝(1－i)i＝i＋1，∴z＝1－i，故选B.答案：B2．下面是关于复数z＝的四个命题：其中的真命题为()p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i;p4：z的虚部为－1.A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D.p3，p4解析：因为z＝＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z2＝(－1－i)2＝2i，共轭复数为＝－1＋i，z的虚部为－1，所以真命题为p2，p4，故选C.答案：C3．已知i为虚数单位，复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则复数z对应的点位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D.第四象限解析：∵(1＋2i)z＝4＋3i，∴z＝＝＝＝2－i，∴复数z对应的点位于复平面内的第四象限，故选D.答案：D4．(2019·荆州模拟)若a为实数，且＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D.4解析：因为＝3＋i，所以2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，又a∈R，所以a＝4.故选D.答案：D5．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD.－3－5i解析：z＝＝＝＝3＋5i.故选A.答案：A6．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将ei表示的复数记为z，则z(1＋2i)的值为()A．－2＋iB．－2－iC．2＋iD.2－i解析：∵z＝ei＝cos＋isin＝i，∴z·(1＋2i)＝i(1＋2i)＝－2＋i，故选A.答案：A1二、填空题7．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为z，则z·z＝________.解析：依题意，得z＝＝i，所以z＝－i，所以z·z＝i·(－i)＝1.答案：18．若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：由(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，得1＋3i＝a＋bi，根据复数相等得a＝1，b＝3，所以a＋b＝4.答案：49．已知i为虚数单位，2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q＝________.解析：∵2i－3是方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，∴2(2i－3)2＋p(2i－3)＋q＝0，∴2(－4－12i＋9)＋2pi－3p＋q＝0，即10－3p＋q＋(2p－24)i＝0，∴解得∴p＋q＝12＋26＝38.答案：38三、解答题10．计算下列各式．(1)(1－2i)(2＋i)(3＋4i)；(2).解：(1)原式＝(2＋i－4i＋2)(3＋4i)＝(4－3i)(3＋4i)＝12＋16i－9i＋12＝24＋7i.(2)原式＝＝＝＝＝＝＋i.11．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．解：∵z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，∴z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝(a＋b)＋(a＋2)i＝1－i，∴解得即实数a，b的值分别为－3和4.12．已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，所以y＝－2.因为＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，且为实数，所以x＝4，所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知2解得2
