专题对点练3分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)={2x-3,x<0,❑√x+1,x≥0,若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5❑√x-1+❑√10-x的最大值为()A.9B.12C.❑√26D.3❑√263.在等比数列{an}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是()A.1B.-12C.1或-12D.-1或124.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率是()A.❑√32B.❑√5C.❑√32或❑√52D.❑√32或❑√55.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±34x,则该双曲线的离心率为()A.54B.53C.54或53D.35或456.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p
qD.当a>1时,p>q;当00,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.11.函数y=❑√x2-2x+2+❑√x2-6x+13的最小值为.12.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是.三、解答题13.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}={p,p≤q,q,p>q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).专题对点练3答案1.B解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若❑√a+1>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞).2.D解析设a=(5,1),b=(❑√x-1,❑√10-x),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5❑√x-1+❑√10-x≤❑√52+12·❑√x-1+10-x=3❑√26.当且仅当5❑√x-1=❑√10-x,即x=25126时等号成立.3.C解析当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当公比q≠1时,则a1q2=7,a1(1-q3)1-q=21,解得q=-12(q=1舍去).综上可知,q=1或q=-12.4.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线y24+x2=1是椭圆,其离心率e=ca=❑√32;当m=-4时,圆锥曲线x2-y24=1是双曲线,其离心率e=ca=❑√51=❑√5.综上知,选项D正确.5.C解析当焦点在x轴上时,ba=34,此时离心率e=ca=54;当焦点在y轴上时,ab=34,此时离心率e=ca=53.故选C.6.C解析当0loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,则a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥32(x+1x)在[1,4]上恒成立,因为y=32(x+1x)在[1,4]上单调递增,所以t≥32(4+14)=518,故选C.8.B解析方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=k-|x|.y2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.当折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,k=1.由图知,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.9.-32解析当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得{a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当00,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)={0,3≤a≤2+❑√2,-a2+4a-2,a>2+❑√2.②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)={34-8a,3≤a<4,2,a≥4.
