一平行射影自我小测1．下列说法正确的是()A．正射影和平行射影是两种截然不同的射影B．投影线与投影平面有且只有一个交点C．投影方向可以平行于投影平面D．一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的2．线段AB，CD在同一平面内的正射影相等，则线段AB，CD的长度关系为()A．AB＞CDB．AB＜CDC．AB＝CDD．无法确定3．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()A．内心的平行投影还是内心B．重心的平行投影还是重心C．垂心的平行投影还是垂心D．外心的平行投影还是外心4．下列结论中正确的是()①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的平行射影不可能是圆；②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形；③两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比；④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然．A．①②B．②③C．③④D．②③④5．Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是()A．一条线段B．一个锐角三角形或一条线段C．一个钝角三角形或一条线段D．一条线段或一个钝角三角形6．用平面α截圆柱OO′，当OO′与平面α所成的角等于__________时，截面是一个圆．7．如图所示，设C是线段AB上任意一点，C′，A′，B′分别是C，A，B沿直线l的方向在平面α上的平行射影．若AC＝4，CB＝6，则＝__________.8．设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心．9．如图所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，点A′是点A在平面BCD上的正射影，求证：点A′不可能是△BCD的垂心．12参考答案1．解析：正射影是平行射影的特例，本质是相同的，故选项A错误；投影线与投影平面只能相交，选项B是正确的，选项C是错误的；一个图形在一个平面上的平行射影与投影方向有关，方向改变了，就可能得到不同的平行射影，故选项D错误．答案：B2．解析：由线段AB，CD与平面所成的角来确定，虽然射影相等，但线段AB，CD的长度无法确定，故它们的长度关系也无法确定．答案：D3．解析：如果三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形状通常将发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，所以仍是新三角形的内心．答案：A4．解析：由于平面图形的平行射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时，该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了，因而①是错误的，④是正确的．当平行四边形所在平面平行于投影方向时，平行四边形的平行射影是一条线段，故②错误．很明显③正确．答案：C5．解析：(1)当顶点A在平面α内的正射影A′在BC所在直线上时，两条直角边在平面α内的正射影是一条线段，与斜边组成的图形是线段，如图(1)．(2)当顶点A在平面α内的正射影A′不在BC所在直线上时，如图(2)．∵AA′⊥α，∴AA′⊥A′B，AA′⊥A′C.∴A′B＜AB，A′C＜AC.在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，∴BC2＞A′B2＋A′C2.∴A′B2＋A′C2－BC2＜0.∴∠BA′C为钝角，∴△A′BC为钝角三角形．答案：D6．90°7．解析：∵AA′∥l，BB′∥l，CC′∥l，∴AA′∥BB′∥CC′.由平行线分线段成比例定理，得＝＝＝.答案：8．解析：连接AO，BO，CO，则AO，BO，CO分别为PA，PB，PC在平面ABC内的正射影．3又PA＝PB＝PC，由射影长定理，则OA＝OB＝OC，故O为△ABC的外心．答案：外9．分析：直接证明有困难，利用反证法证明．证明：假设点A′是△BCD的垂心，则A′B⊥CD.因为AA′⊥平面BCD于点A′，则AB⊥CD.又因为DA⊥平面ABC，则AB⊥AC，这与△ABC是斜三角形的条件矛盾，故点A′不可能是△BCD的垂心．4
