高中数学 圆的方程单元测试VIP专享VIP免费

典型例题十已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值．分析：设P、Q两点的坐标为),(11yx、),(22yx，则由1OQOPkk，可得02121yyxx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为xy，由直线l与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQOPkk的值，从而使问题得以解决．解法一：设点P、Q的坐标为),(11yx、),(22yx．一方面，由OQOP，得1OQOPkk，即12211xyxy，也即：02121yyxx．①另一方面，),(11yx、),(22yx是方程组0603222myxyxyx的实数解，即1x、2x是方程02741052mxx②的两个根．∴221xx，527421mxx．③又P、Q在直线032yx上，∴])(39[41)3(21)3(2121212121xxxxxxyy．将③代入，得51221myy．④将③、④代入①，解得3m，代入方程②，检验0成立，∴3m．解法二：由直线方程可得yx23，代入圆的方程0622myxyx，有0)2(9)6)(2(31222yxmyxyxyx，整理，得0)274()3(4)12(22ymxymxm．由于0x，故可得012)3(4))(274(2mxymxym．∴OPk，OQk是上述方程两根．故1OQOPkk．得127412mm，解得3m．经检验可知3m为所求．用心爱心专心1典型例题十一例11求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解： 圆和直线02yx与02yx相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等．∴5252yxyx．∴两直线交角的平分线方程是03yx或03yx．又 圆过点)5,0(A，∴圆心C只能在直线03yx上．设圆心)3,(ttC C到直线02yx的距离等于AC，∴22)53(532tttt．化简整理得0562tt．解得：1t或5t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx．典型例题十二例12设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(baP，半径为r．则P到x轴、y轴的距离分别为b和a．用心爱心专心2由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为r2．∴222br又圆截y轴所得弦长为2．∴122ar．又 ),(baP到直线02yx的距离为52bad∴2225badabba4422)(242222baba1222ab当且仅当ba时取“=”号，此时55mind．这时有1222abba∴11ba或11ba又2222br故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx解法二：同解法一，得52bad．∴dba52．∴2225544dbdba．将1222ba代入上式得：01554222dbdb．上述方程有实根，故用心爱心专心30)15(82d，∴55d．将55d代入方程得1b．又1222ab∴1a．由12ba知a、b同号．故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？典型例题十三例13两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyEx...