第六节平行、垂直的综合问题A组基础题组1.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是()①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③答案C①由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,所以点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.②由已知得BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A'DE.③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FDE的体积达到最大.故选C.2.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC1答案D易证BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.3.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=√2,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为()A.√3π2B.3πC.√2π3D.2π答案A如图,取BD的中点E,BC的中点O,连接AE,OD,EO,AO.因为AB=AD,所以AE⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AE⊥平面BCD.因为AB=AD=CD=1,BD=√2,所以AE=√22,EO=12,BC=√3.所以OA=√32.2在Rt△BDC中,OB=OC=OD=12BC=√32,所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为√32.所以该球的体积V=43π(√32)3=√3π2.4.在直角梯形ABCD中,AB=2,CD=CB=1,∠ABC=90°,平面ABCD外有一点E,平面ADE⊥平面ABCD,AE=ED=1.(1)求证:AE⊥BE;(2)求点C到平面ABE的距离.解析(1)证明:在直角梯形ABCD中,BD=√BC2+CD2=√2,AD=√2,又AD=√2=√AE2+ED2,所以AE⊥ED.因为AB2=AD2+BD2,所以AD⊥BD,又因为平面ADE⊥平面ABCD,且平面ADE∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面ADE.因为AE⊂平面ADE,所以BD⊥AE.又因为AE⊥ED,BD∩DE=D,所以AE⊥平面BDE,因为BE⊂平面BDE,所以AE⊥BE.(2)如图,过点E作EM⊥AD,交AD于M.因为平面ADE⊥平面ABCD,所以EM⊥平面ABCD.设点C到平面ABE的距离为h,EM=√22,S△ABC=12×AB×BC=12×2×1=1,3S△ABE=12×EB×AE=12×√3×1=√32.因为VE-ABC=VC-ABE,所以13×1×√22=13×√32×h,所以h=√63,所以点C到平面ABE的距离为√63.5.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.解析(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=14.由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB2-AO2=4.4所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2√2)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',因为OD'⊂平面BHD',所以AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.又由EFAC=DHDO得EF=92.五边形ABCFE的面积S=12×6×8-12×92×3=694.所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=13×694×2√2=23√22.6.如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3.(1)证明:平面ACF⊥平面BEFD;(2)若cos∠BAD=15,求几何体ABCDFE的体积.解析(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,因为BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC.所以AC⊥平面BEFD.又因为AC⊂平面ACF,所以平面ACF⊥平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O,AB=a(a>0),由(1)得AC⊥平面BEFD,5因为BE⊥平面ABCD,所以BE⊥BD,因为DF∥BE,所以DF⊥BD,所以BD2=EF2-(DF-BE)2=8,所以BD=2√2,所以S四边形BEFD=12(BE+DF)·BD=3√2,因为cos∠BAD=15,所以BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=85a2=8,所以a=√5,所以OA2=AB2-OB2=3,所以OA=√3,所以VABCDFE=2VA-BEFD=23S四边形BEFD·OA=2√6.B组提升题组1.(2017课标全国Ⅰ,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的...
