课时跟踪检测（十二）复数的乘方与除法运算[课下梯度提能]一、基本能力达标1．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝()A．2B.C.D．1解析：选C法一：∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.法二：|z|＝＝＝.2．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选D因为＝1＋i，所以z＝＝＝＝－1－i.3．(1＋i)20－(1－i)20的值是()A．－1024B．1024C．0D．512解析：选C(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则＝()A．2－iB．2＋iC．－2－iD．－2＋i解析：选A由条件知z＝－1＋2i，则＝＝＝2－i.5．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为()A．－B．－iC.D.i解析：选A由题意得所以a＝1，所以＝＝＝－i，根据虚部的概念，可得的虚部为－.选A.6．复数＝________.解析：法一：＝＝＝i.法二：＝＝＝i.答案：i7．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.解析：∵z1＝－2－3i，z2＝，∴＝＝＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.答案：4－3i8．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________.解析：设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8，①则iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9，②①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9＝－8i＝－8i.∴S＝＝＝1＝4－4i.答案：4－4i9．计算：2－20.解：2－20＝2－i10＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.10．复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.解：z＝＝＝＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0，∴∴m＝4.∴a＝4i.二、综合能力提升1．已知复数z满足(1－i)z＝i2020(其中i为虚数单位)，则的虚部为()A.B．－C.iD．－i解析：选B因为z＝＝＝＝.所以＝－i，所以的虚部为－.2．已知x，y∈R，i是虚数单位．若x＋yi与互为共轭复数，则x＋y＝()A．0B．1C．2D．3解析：选D因为＝＝＝2－i，所以的共轭复数为2＋i，即x＝2，y＝1，所以x＋y＝3，故选D.3．已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.解：因为z＝1＋i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝(a＋2z)2，得解得a＝－2或a＝－4，对应得b＝－1或b＝2，所以所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.4．已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．(1)求a，b的值；(2)试判断1－i是否是方程的根．解：(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，∴∴∴a、b的值为a＝－2，b＝2.(2)方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程，2左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0显然方程成立．∴1－i也是方程的一个根.3
