高中数学 第4章 导数及其应用 4.4 生活中的优化问题举例应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

4.4生活中的优化问题举例[A基础达标]1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是()A．1秒末B．0秒C．2秒末D．0秒或1秒末解析：选D.由题意可得t≥0，s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对解析：选B.设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝512－192x＋24x2且0≤x≤8，则y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0，所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300解析：选D.由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000(0≤x≤390)．P′(x)＝－＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3004时，l′>0.故当x＝4时，l有最1小值816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，则其底面半径为cm，体积V＝π(202－x2)x＝π(400x－x3)(0＜x＜20)，则V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取得极大值，也是最大值．答案：7．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________．解析：可列出V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出容积最大时x的值为.答案：8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．解析：设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1200(x>0)，y′＝－x2.由y′＝0，得x＝25，当x∈(0，25)时，y′>0；当x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．答案：259．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，00；当x∈(20，30)时，V′<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时＝.所以当x＝20cm时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.10．某市旅...