1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.答案：C2．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A.答案：A3．已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A．5B．20C．10D．40解析：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.答案：C4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于()A．64B．32C．63D．31解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.答案：B5．已知的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n等于()A．4B．5C．6D．7解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，又各二项式系数的和为2n，故＝64.所以n＝6.答案：C二、填空题6．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．解析：C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.答案：120a7．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8＜C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.答案：6x8．如图所示，满足如下条件：1①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．1223434774511141156162525166…解析：由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.答案：46三、解答题9．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，解得n＝8.所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4.设第(k＋1)项系数最大，则有解得5≤k≤6.又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.所以系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.B级能力提升1．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为()A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数解析：9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C·9n＋…＋C·92＋C＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．2答案：A2．(2015·山东卷)观察下列各式：C＝40；C＋C＝41；C＋C＋C＝42；C＋C＋C＋C＝43；……照此规律，当n∈N*时，C＋C＋C＋…＋C＝________．解析：具体证明过程可以是：C＋C＋C＋…＋C＝(2C＋2C＋2C＋…＋2C)＝[(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)]＝(C＋C＋C＋…＋C＋C＋…＋C)＝·22n－1＝4n－1.答案：4n－13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．解：由得Tr＋1＝C＝Cx，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝C·＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54.解得a＝±.3
