第一章导数及其应用检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=ax−√x,且f'(4¿=12,则a的值等于()A.14B.52C.1D.34解析:由已知得f'(x)=a−12√x,则f'(4)=a−12√4=12,解得a¿34.答案:D2.曲线y¿xx-2在点¿1,-1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析:因为y'¿-2(x-2)2,所以切线的斜率k¿-2(1-2)2=−2,所以所求切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案:A3.函数f(x)=3x2+lnx-2x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.无数个解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+1x−2=6x2-2x+1x.因为x>0,g(x)=6x2-2x+1中Δ=(-2)2-4×6×1=-20<0,所以g(x)>0恒成立,故f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.答案:A4.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是()A.(-1,+∞)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案:B15.设f(x¿={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫e❑0f¿x)dx等于()A.43B.54C.65D.76解析:∫e❑0f¿x)dx¿∫01❑x2dx+∫e❑11xdx¿13x3|01+lnx|e1=43.故选A.答案:A6.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)内单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)解析:由f'(x)=k−1x,又f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,则f'(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,即k≥1x在区间(1,+∞)内恒成立.因为当x∈(1,+∞)时,0<1x<1,所以k≥1.故选D.答案:D7.∫01❑¿ex+2x)dx等于()A.1B.e-1C.eD.e+1解析: (ex+x2)'=ex+2x,∴∫01❑¿ex+2x)dx=(ex+x2¿|01=¿e1+12)-(e0+0)=e.答案:C8.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a>-3B.a<-3C.a>−13D.a<−13解析:令y'=aeax+3=0,则eax=−3a.设x=x0为大于0的极值点,则eax0=−3a.2∴a<0,ax0<0.∴00)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.解析:曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=y'=ex|x=0=1;由y¿1x,可得y'=−1x2.因为曲线y¿1x¿x>0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,所以−1xP2=−1,解得xP=1.由y¿1x,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)13.若两曲线y=x2与y=ax3(a>0)所围成的图形的面积等于23,则a=.解析:曲线y=x2与y=ax3的交点为(0,0),(1a,1a2),因此有∫01a❑¿x2-ax3)dx¿23,而∫01a❑¿x2-ax3)dx¿(13x3-14ax4)|01a=112a3,于是112a3=23,解得a¿12.4答案:1214.已知函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是.解析:易知f'(x)=3x2+a=0有两个不相等的实数根,即x2=−a3>0,故a<0.答案:a<015.已知函数f(x)为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫01❑f¿x)dx=1,则函数f(x)的解析式为.解析:设函数f(x)=ax+b(a≠0). 函数f(x)的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫01❑f¿x)dx¿∫01❑¿ax+4-3a)dx¿[12ax2+(4-3a)x]|01=12a+4-3a=1,∴a¿65.∴b¿25.∴f(x¿=65x+25.答案:f(x¿=65x+25三、解答题(本大...
