高二数学椭圆标准方程苏教版知识精讲VIP专享VIP免费

高二数学椭圆标准方程苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：椭圆标准方程二.重点、难点：教学重点：1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．2、通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．3、通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．教学难点：坐标系的建立与椭圆标准方程的推导．二.主要知识点1、椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：（1）需加限制条件：“在平面内”．（2）若常数＝|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在．2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P＝{M||MF1|+|MF2|＝2a}．（3）代数方程（4）化简方程（其中a2＝b2+c2）3.两种标准方程的比较用心爱心专心115号编辑【典型例题】例1、平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．2 a＝10，2c＝8．∴a＝5，c＝4，b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴b＝3因此，这个椭圆的标准方程是，即请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，轨迹方程是什么形式呢？．变式1、已知B、C是两个定点，∣BC∣＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程．分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单．在图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣＝6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即∣AB∣+∣AC∣＝16－6＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）用心爱心专心115号编辑说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确地得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.变式2、过椭圆4x2+y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是多少？解：根据题意画出图形 |AF1|+|AF2|＝2|BF1|+|BF2|＝2∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4即|AB|+|AF2|+|BF2|＝4变式3、如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长为多少？解：根据题意画出图形，其中F2是椭圆的另一个焦点，由椭圆定义得：|MF2|+|MF1|＝2×5＝10又|MF1|＝2，∴|MF2|＝8 ON是△MF1F2的中位线∴|ON|＝4评述：对于例1可以通过分别求出A、B两点的坐标从而求出△ABF2的周长．对于例2可以通过求M点坐标，再求N点坐标，从而求ON的长度．但通过利用定义求出结果的这种方用心爱心专心115号编辑法可以使我们去繁就简，其巧妙之处大家也深有感触．可见寻求简捷的解法应成为我们不断探索的动力．例2.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP'中点M的轨迹．解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x＝x0，y＝．因为P（x0，y0）在圆x2+y2＝4上，所以x02+y02＝4．①将x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2+4y2＝4即+y2＝1所以点M的轨迹是一个椭圆．（如图）说明：①本题在求点M（x，y）的轨迹方程时，不是直接建立关于x，y之间关系的方程，而是先寻找...