第三章3.2第2课时1．直线a与b的方向向量分别为e＝(2,1，－3)和n＝(－1,1，－)，则a与b的位置关系是(B)A．平行B．垂直C．相交D．重合[解析]∵e·n＝2×(－1)＋1×1＋(－3)×＝－2＋1＋1＝0，∴e⊥n，∴a⊥b.2．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么(B)A．l⊥αB．l∥αC．l⊂αD．l与α斜交[解析]∵a·b＝－4＋4＝0，∴a⊥b，又∵l⊄α，∴l∥α.3．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(D)A．(1，－4,2)B．C．D．(0，－1,1)[解析]因为PM＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D．4．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是__垂直__.[解析]∵v1·v2＝－2＋0＋2＝0，∴v1⊥v2，∴l1⊥l2.5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.[解析]用向量法证明线面垂直有两种方法：①基向量法；②坐标向量法．证法一：设AB＝a，AD＝c，AA1＝b，则EF＝EB1＋B1F＝(BB1＋BD)＝(AA1＋AD－AB)＝(－a＋b＋c)，∵AB1＝AB＋AA1＝a＋b，∴EF·AB1＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0，∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.证法二：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系．1则A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，B1(2a,2a,2a)，E(2a,2a，a)，F(a，a,2a)．∴EF＝(a，a,2a)－(2a,2a，a)＝(－a，－a，a)，AB1＝(2a,2a,2a)－(2a,0,0)＝(0,2a,2a)，AC＝(0,2a,0)－(2a,0,0)＝(－2a,2a,0)．∵EF·AB1＝(－a，－a，a)·(0,2a,2a)＝0－2a2＋2a2＝0，EF·AC＝(－a，－a，a)·(－2a,2a,0)＝2a2－2a2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.2
