3.1.3空间向量的数量积运算课时演练·促提升A组1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=()A.0B.-C.-1D.1解析:=||·||·cos∠D1AC=×cos60°=1.答案:D2.若a,b均为非零向量,则“a与b共线”是“a·b=|a||b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a与b共线时,a与b可能同向,也可能反向,因此不一定有a·b=|a||b|;但当a·b=|a||b|时,a与b一定同向,即a与b共线.答案:B3.已知a,b均为空间中的单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于()A.B.C.D.4解析:|a+3b|2=|a|2+6a·b+9|b|2=1+6×1×1×cos60°+9=13,故|a+3b|=.答案:C4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,体对角线AC1和BD1相交于点O,则有()A.=2a2B.a2C.a2D.=a2解析:∵,∴=a×a×cos45°=a2,故A不正确.=||·||cos<>=||·||=a2,故B不正确.a2,故C正确.=-a2,故D不正确.答案:C5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面的中心,则AC1与CE的位置关系是()A.重合B.垂直C.平行D.无法确定解析:),于是=()·=0--0+0-0-+1-0-0=0,故,即AC1与CE垂直.答案:B6.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<>等于()A.B.C.-D.0解析:cos<>====0.答案:D7.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则(a+b)·(a-2b)=.解析:(a+b)·(a-2b)=a2-2a·b+b·a-2b2=|a|2-a·b-2|b|2=12-1×1×cos60°-2×12=-.答案:-8.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为.1解析:因为,所以||2=()2=||2+||2+||2+2()=1+4+9+2=23,故AC1的长为.答案:9.已知在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC.证明:如图,连接ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|.∵)==(a+b+c),=c-b,∴(a+b+c)·(c-b)=(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)=(|a|2cosθ-|a|2cosθ-|a|2+|a|2)=0,∴OG⊥BC.10.如图,BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,▱ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.解:因为=()·()==0-a2+0+0=-a2,且||=a,||=a,所以cos<>===-.所以的夹角是120°,故直线BA1与AC所成的角为60°.B组1.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.以上都不对解析:∵a+b+c=0,∴a+b=-c.∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=|c|2.∴a·b=.∴cos
=.答案:D2.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则△BCD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析:=()·()=>0,2同理,可证>0,>0.所以△BCD的每个内角均为锐角,故△BCD是锐角三角形.答案:B3.在三棱锥O-ABC中,OA⊥OB,OA⊥OC,∠BOC=60°,OA=OB=OC=2,若E为OA中点,F为BC的中点,则EF=.解析:∵)-,∴||2=)2=+2-2-2).又由已知得||=||=||=2,=2×2×=2,∴||2=(4+4+4+4)=4.∴||=2,即EF=2.答案:24.如图,已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为.解析:因四面体ABCD是正四面体,顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心,所以BC⊥DA,AB⊥CD.设正四面体的棱长为4,则=()·()=0++0=4×1×cos120°+1×4×cos120°=-4,BF=DE=,所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为cosθ=.答案:5.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点,(1)求的长;(2)求cos<>的值.解:(1)∵AA1=2,N为其中点,∴AN=1.由已知得NA⊥AC,NA⊥BC,又,∴||2=+2+2+2=3.∴||=.(2)∵,∴=()·()==||·||·cos135°+0+0+=×1×+22=3.又∵||=,||=,∴cos<>==.6.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD.(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.证明:(1)设=a,=b,=c,则==)=3=)=(b+c),故(b+c)·(-a)=-(a·b+a·c).∵四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,∴a⊥b,a⊥c.∴a·b=a·c=0.∴=0.∴,故MN⊥CD.(2)由(1)知,MN⊥CD,(b+c),∵=b-c,∴(b+c)·(b-c)=(|b|2-|c|2).∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.又∵∠PDA=45°,∴PA=AD,∴|b|=|c|.∴=0,∴,∴MN⊥PD.∵CD,PD⊂平面PCD,且CD∩PD=D,∴MN⊥平面PCD.4
