高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.2 双曲线方程及性质的应用课时达标训练（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

2.2.2.2双曲线方程及性质的应用课时达标训练1.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.因为双曲线-y2=1中,x≥2或x≤-2,所以若x=a与双曲线有两个交点,则a>2或a<-2,故只有A选项符合题意.2.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x【解析】选B.由题意知:2b=2,2c=2,则可求得a=,则双曲线方程为-y2=1,故其渐近线方程为y=±x.3.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为.【解析】不妨设双曲线方程为-=1,则一顶点坐标为(a,0),一焦点坐标为(c,0),一渐近线方程为bx-ay=0,则(a,0)到bx-ay=0的距离为d1==2,(c,0)到bx-ay=0的距离为d2==6.所以==,所以=,所以=3,所以e=3.答案:34.已知双曲线的中心是坐标原点,实轴在y轴上,离心率为2,且双曲线两支上的点的最近距离为4,则该双曲线的标准方程为.【解析】因为双曲线的实轴在y轴上,所以焦点在y轴上.因为双曲线两支上的点的最近距离为4,1即两顶点之间的距离为4,所以a=2.又因为离心率为2,所以c=4,所以b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为-=1.答案:-=15.求经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.【解析】当直线斜率存在时,设所求直线方程为y-2=k,代入双曲线方程4x2-y2=1,得(4-k2)x2-2kx-=0.(1)当k=2时,直线方程为y=2x+1,与双曲线只有一个公共点.(2)当k=-2时,直线方程为y=-2x+3,与双曲线只有一个公共点.(3)当直线和双曲线相切时,仅有一个公共点,此时由得k=,可得直线方程为y=x+.当直线斜率不存在时,直线x=也满足题意.故经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线有四条,它们的方程分别为y=2x+1,y=-2x+3,y=x+,x=.【补偿训练】1.设双曲线x2-=1上有两点A,B,AB的中点为M(1,2),求直线AB的方程.【解析】方法一(用根与系数的关系解决):显然直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0,当Δ>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),2则1==,所以k=1,满足Δ>0,所以直线AB的方程为y=x+1.方法二(用点差法解决):设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).因为x1≠x2,所以=,所以kAB==1,所以直线AB的方程为y=x+1,代入x2-=1满足Δ>0.所以直线AB的方程为y=x+1.2.(2017·莱芜高二检测)求以过原点且与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线,且过椭圆y2+4x2=4两焦点的双曲线方程.【解析】圆x2+y2-4x+3=0的圆心为(2,0),半径r=1.设过原点的圆的切线方程为y=kx.由圆的切线的性质,可得=r=1,解得k=±.所以双曲线的渐近线方程为y=±x,从而所求的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).①将椭圆y2+4x2=4化为标准形式为+x2=1,所以焦点坐标为(0,±),将点(0,)代入①,得-=λ,所以λ=-1.故所求双曲线的方程为-=1.3