课时提升作业(十)椭圆的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是()A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-,0),(,0)D.(0,-),(0,)【解析】选D.椭圆6x2+y2=6可化为x2+=1,故椭圆长轴的端点坐标为(0,-),(0,).2.椭圆+=1的短轴长为()A.B.2C.2D.4【解析】选C.由题意可知b2=2,所以b=,所以2b=2.3.(2015·安阳高二检测)已知椭圆+=1有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是()A.(±,0)B.(0,±)C.(±,0)D.(0,±)【解析】选A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,所以c==.所以椭圆的焦点坐标是(±,0).4.椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=1(0b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解题指南】利用椭圆的定义,将△AF1B的周长转化为4a=4,确定出a的值,然后结合离心率确定c的值,从而求出椭圆方程.【解析】选A.由椭圆的定义可知,AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,又因为AF1+AF2+BF1+BF2=4,即4a=4,解得a=.又=,则c=1,b2=a2-c2=2,所以椭圆的方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·冀州高二检测)椭圆+=1的半焦距是.【解析】因为a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,所以c=3.答案:37.以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e=的椭圆的方程是.【解析】当焦点在x轴上时,因为a=5,e==,所以c=2,所以b2=a2-c2=25-20=5.所以椭圆方程为+=1.2当焦点在y轴上时,因为b=5,e==,所以=,所以a2=125.所以椭圆的方程为+=1.答案:+=1或+=1【误区警示】本题常常因为忘记对焦点所在的位置讨论,导致漏解.8.(2015·潍坊高二检测)若椭圆+=1的离心率e=,则k的值等于.【解析】当焦点在x轴上时,a=,b=2,c=,e===,解得k=;当焦点在y轴上时,a=2,b=,c=,e===,解得k=.所以k=或k=.答案:或三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.【解析】椭圆方程可化为+=1.因为m-=>0,所以m>,即a2=m,b2=,c==.由e=得=,所以m=1.所以椭圆的标准方程为x2+=1.所以a=1,b=,c=.所以椭圆的长轴长为2,短轴长为1;3两焦点分别为F1,F2;四个顶点分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1,B2.10.(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为+=1,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足=2,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e.(2)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.【解题指南】(1)由kOM=和椭圆的离心率公式求得.(2)根据点N关于直线AB的对称点S的中点T在直线AB上且kNS·kAB=-1联立方程组求得b的值.【解析】(1)由题意可知点M的坐标是,又kOM=,所以=,进而得a=b,c==2b,故e==.(2)直线AB的方程为+=1,点N的坐标为,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则NS的中点T的坐标为,又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有⇒b=3,所以a=3,故椭圆的方程为+=1.4【补偿训练】已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若·=0,椭圆的离心率等于,△AOF2的面积为2,求椭圆的方程.【解析】因为·=0,所以AF2⊥F1F2,因为椭圆的离心率e==,则b2=a2,设A(x,y)(x>0,y>0),由AF2⊥F1F2知x=c,所以A(c,y),代入椭圆方程得+=1,所以y=,因为△AOF2的面积为2,所以=x×y=2,即c·=2,因为=,所以b2=8,所以a2=2b2=16,故椭圆的方程为+=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解题指南】由椭圆的几何性质建立关于a,b,c的等量关系,进而求其离心率.【解析】选B.由题意知,2a+2c=2×2b,即a+c=2b.所以a2+2ac+c2=4b2,又因为b2=a2-c2,5所以3a2-2ac-5c2=0,所以5e2+2e-3=0解得e=或-1(舍去).2.(2015·东莞高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段F1F2为边作正△MF1F2,若边MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆...
