3.1.1-3.1.2空间向量的数乘运算[课时作业][A组基础巩固]1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则()A．m，n，p共线B．m与p共线C．n与p共线D．m，n，p共面解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．答案：D2．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则()A．x＝1，y＝B．x＝，y＝1C．x＝1，y＝D．x＝1，y＝解析：AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，所以x＝1，y＝.答案：D3．已知空间向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析： BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴A，B，D三点共线．答案：A4．已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有()①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：C5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点()A．不共面B．共面C．共线D．不共线解析： ＋＋＝1，∴P，A，B，C四点共面．答案：B6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.解析：CD＝CB－DB＝CB－AB＝CB－(CB－CA)＝CB＋CA，又CD＝CA＋λCB，所以λ＝.答案：7.如图，已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E、F，则EF＝________(用向量a，b，c表示)．1解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则EF＝EG＋GF＝AB＋CD＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.答案：3a＋3b－5c8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，若AB＝e1＋ke2，BC＝5e1＋4e2，DC＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.解析： BC＝5e1＋4e2，DC＝－e1－2e2，∴BD＝BC＋CD＝5e1＋4e2＋e1＋2e2＝6e1＋6e2.又AB＝e1＋ke2， A，B，D三点共线，∴存在实数u，使AB＝uBD，即e1＋ke2＝6ue1＋6ue2， e1，e2不共线，∴∴k＝1.答案：19.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP.解析：(1) P是C1D1的中点，∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.(2) N是BC的中点，∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.(3) M是AA1的中点，∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋＝a＋b＋c.10.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．解析：(1)证明： ABCDA1B1C1D1是平行六面体，∴AA1＝BB1＝CC1＝DD1，∴BE＝AA1，DF＝AA1，∴AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝＋＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF，由向量共面的充分必要条件知A，E，C1，F四点共面．(2) EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，又EF＝xAB＋yAD＋zAA1，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.[B组能力提升]1．若a，b是平面α内的两个向量，则()A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝02C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．答案：D2．已知向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d.若a与b共线，则实数k的值为()A．0B．1C．－1D．2解析： c，d不共线，∴c≠0，且d≠0. a与b共线，∴存在实数λ，使得a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－k2d)，整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0.∴，解得k＝λ＝－1.故选C.答案：C3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________.解析：如图...
