课时作业(五)全称量词与存在量词A组基础巩固1．下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数解析：D选项是特称命题．答案：D2．下列命题中，真命题是()A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：当m0＝0时，函数f(x)＝x2＋m0x是偶函数．答案：A3．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．答案：C4．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．梯形的对角线不相等C．∃x∈R，＝xD．对数函数在定义域上是单调函数解析：A是全称命题，且a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B中隐含量词“所有的”，是全称命题，但等腰梯形的对角线相等，是假命题；C是特称命题；易知D是全称命题且是真命题．答案：D5．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∃x0∈A,2x0∈BB．綈p：∃x0∉A,2x0∈BC．綈p：∃x0∈A,2x0∉BD．綈p：∀x∉A,2x∉B解析：原命题的否定是∃x0∈A,2x0∉B.答案：C6．已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧qC．p∧(綈q)D．(綈p)∧(綈q)解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2， h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有綈p∧q为真命题，故选B.答案：B7．命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是__________．解析：全称命题的否定是特称命题．答案：∃x0∈R，cosx0＞18．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥09．若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是________．解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案：(－∞，3]10．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)存在实数x，使得＝2.解：1(1)特称命题，否定：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1，真命题．(2)全称命题，否定：∃直线l，l没有斜率，真命题．(3)特称命题，否定：∀x∈R，≠2，真命题．B组能力提升11．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)C．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)D．对任意x∈R，f(x)≥f(x0)解析：由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此对任意x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.答案：C12．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是()A．a＜1B．a≤1C．－1＜a＜1D．－1＜a≤1解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是a＜1.答案：A13．若x∈[－2,2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．解：设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f(x)]min≥0.①当－＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，又a＞4，所以a不存在．②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，[f(x)]min＝f＝≥0，解得－6≤a≤2.又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.③当－＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，又a＜－4，所以－7≤a＜－4.综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．14．若关于x的方程4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解，求实数a的取值范围．解：令t＝2x，则t＞0，即将4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数...
