高中数学 第一章 计数原理 1-2-2-2 组合的综合应用随堂达标验收 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP专享VIP免费

1-2-2-2组合的综合应用1．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是()A．16B．21C．24D．90[解析]分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C＝6种选取方法．第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C＝15种选取方法．由分类加法计数原理得，共有C＋C＝6＋15＝21(种)选取方法．[答案]B2．把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有()A．80种B．120种C．140种D．50种[解析]当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有CC＝20(种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有CC＝30(种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有CC＝30(种)不同的分配方案；由分类加法计数原理共有CC＋CC＋CC＝80(种)不同的分配方案．[答案]A3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种[解析]从1,2,3，…9这9个数中取出4个不同的数，其和为偶数的情况包括：①取出的4个数都是偶数，取法有C＝1(种)；②取出的4个数中有2个偶数、2个奇数，取法有CC＝60(种)；③取出的4个数都是奇数，取法有C＝5(种)．根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66(种)．[答案]D4．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．[解析]把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60(种)．[答案]60课内拓展课外探究1．几何组合应用问题(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．如平面上不共线的m个点构成多少个三角形，即在m个元素中取出3个元素的组合数(除去共线的情况)就是三角形的个数．空间由不共面的n个点构成多少个四面体，即与在n个元素中取出4个元素的组合数(除去共面的情况)相等，如求组成多少对异面直线问题，也可以构造四面体模型加以处理．此外，解决几何问题，必须注意几何问题本身的限制条件．如共线、共面、交点等要注意1分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等等，解题时可借助图形来帮助思考，并善于将几何性质用于解题之中．(2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；②要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，要具体问题具体分析；③常用间接法解决该类问题．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝________(答案用数字或n的解析式表示)．[解析]n棱锥共n＋1个顶点，依两点确定一条直线，有C＝条直线．f(4)表示四棱锥中的异面直线的对数，如图，每条侧棱和底面上不共顶点的两条底边、一条对角线共形成3对异面直线，即f(4)＝4×3＝12对；同理，一条侧棱与底面上n－2条底边异面，又与C－(n－1)＋1条底面对角线异面，即与这条侧棱异面的直线有C－(n－1)＋1＋(n－2)＝C＝条，故n条侧棱形成的异面直线的对数f(n)＝.[答案]12[点评]这里是用组合知识来解答立体几何中的问题，...