2.4.1抛物线及其标准方程[课时作业][A组基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为()A．y2＝8xB．x2＝yC．y2＝8x或x2＝yD．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.答案：C2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.答案：A3．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x＋4＝0的距离，则M点的轨迹方程是()A．x＋4＝0B．x－4＝0C．y2＝8xD．y2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，p＝8，∴其轨迹方程为y2＝16x，故选D.答案：D4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：抛物线的焦点，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，焦点到渐近线的距离为＝2，即ap＝4＝4c，所以＝，双曲线的离心率为＝2，所以＝＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.故选D.答案：D5．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.B.C.D.解析：由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1. 点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点1N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.答案：A6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．解析：依题意得，直线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x＝－的距离等于半径4，于是有3＋＝4，即p＝2.答案：27．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，定点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.答案：8．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．解析：设Q(x0，±20)(x0≥0)，则|PQ|＝≥|a|对∀x0≥0恒成立，即(x0－a)2＋4x0≥a2对∀x≥0恒成立．化简得x＋(4－2a)x0≥0.当4－2a≥0时，对∀x0≥0，x＋(4－2a)x0≥0恒成立，此时a≤2；当4－2a＜0时，0＜x0＜2a－4时不合题意．答案：(－∞，2]9．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．解析：如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，∴|PQ|＝r＋1，又|AP|＝r＋1.∴|AP|＝|PQ|.故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等．∴点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点．直线x＝2为准线．∴＝2.∴p＝4.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，依题意有P(－1，－1)，在此抛物线上，代入得p＝，故得抛物线方程为x2＝－y.又因为B点在抛物线上，2将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝，则水池半径应为|AB|＋1＝＋1，因此所求水池的直径为2(1＋)，约为5m，即水池的直径至少应设计为5m.[B组能力提升]1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|解析...
