2-2-3反证法基础要求1．a＋b>c＋d的必要而不充分条件是()A．a>cB．b>dC．a>c且b>dD．a>c或b>d解析：A、B既不充分也不必要；C是充分而不必要；D是必要而不充分条件．可用反证法证明如下：若a>c或b>d不成立，则a≤c且b≤d，相加，a＋b≤c＋d，与a＋b>c＋d，矛盾，故条件是必要的．又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8，知条件是不充分的．答案：D2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定为：“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.答案：A3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．故选D.答案：D4．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为()A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0解析：结论是说数列{xn}或单调增加或单调减少，总之是严格单调数列．其否定应是：或为常数列或为摆动数列．因而其中存在一个项xn，或不比两边的项大，或不比两边的项小，即xn≤xn－1且xn≤xn＋1或xn≥xn－1且xn≥xn＋1合并为(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0.故选D.答案：D5．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于21C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：∵a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，因此a，b，c至少有一个不小于2.答案：C能力要求1．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角2．完成反证法证题的全过程．题目设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②＝________③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．解析：反设p为奇数，则a1－1，a2－2，…a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有：奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明，p为偶数．答案：a1－1，a2－2，…a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)3．求证：、、不能为同一等差数列的三项．证明：设、、为某一首项为a，公差为d的等差数列{an}的三项，则－＝md，①－＝nd，②(其中m、n为整数且不为零)两式相除得＝，即n＋m＝(m＋n).∴2n2＋5m2＋2mn＝3(m＋n)2.∴＝∵为有理数，为无理数，∴≠.∴因此假设不成立，∴原命题正确．4．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a,1－b,1－c都是正数．≥>＝，同理>，>.2三式相加，得＋＋>，即>，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.拓展要求设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．证明：设数列{cn}成等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)，①{an}、{bn}是等比数列，设公比分别为p、q，有a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1.②整理①式，并将②式代入得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1，∴2anbn＝anp·＋·bnq，即2＝＋.∵p≠q，∴＋>2，推出矛盾．故{cn}不能成等比数列．3
