专题对点练8导数与函数的零点及参数范围1.(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.2.已知函数f(x)=ax+x2-xlna-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数.(1)当a=e,b=4时,求函数f(x)零点个数;(2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.3.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2(e为自然对数的底数,a∈R).(1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)的公共点个数;(2)当x∈[1e,e]时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围.4.(2018天津,文20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若d=3,求f(x)的极值;(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6❑√3有三个互异的公共点,求d的取值范围.专题对点练8答案1.解(1)当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.令f'(x)=0,解得x=3-2❑√3或x=3+2❑√3.当x∈(-∞,3-2❑√3)∪(3+2❑√3,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(3-2❑√3,3+2❑√3)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2❑√3),(3+2❑√3,+∞)单调递增,在(3-2❑√3,3+2❑√3)单调递减.(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g'(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6(a-16)2−16<0,f(3a+1)=13>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.2.解(1)由题意f(x)=ex+x2-x-4,∴f'(x)=ex+2x-1,∴f'(0)=0,当x>0时,ex>1,∴f'(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数;当x<0时,ex<1,∴f'(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数.f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,∴存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点;f(-2)=1e2+2>0,f(-1)=1e-2<0,∴存在x2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点.∴f(x)的零点个数为2.(2)当b=1时,f(x)=ax+x2-xlna-1,∴f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,当x>0时,由a>1,可知ax-1>0,lna>0,∴f'(x)>0;当x<0时,由a>1,可知ax-1<0,lna>0,∴f'(x)<0;当x=0时,f'(x)=0,∴f(x)是[-1,0]上的减函数,[0,1]上的增函数.∴当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(0),f(x)max为f(-1)和f(1)中的较大者.而f(1)-f(-1)=a-1a-2lna,设g(x)=x-1x-2lnx(x>0).∵g'(x)=1+1x2−2x=(1x-1)2≥0(当且仅当x=1时等号成立),∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,∴当x>1时,g(x)>0,即当a>1时,a-1a-2lna>0,∴f(1)>f(-1).∴f(x)max=f(1)=a+1-lna-1=a-lna.3.解(1)f'(x)=lnx+1,所以切线斜率k=f'(1)=1.又f(1)=0,所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.由{y=-x2+ax-2,y=x-1,得x2+(1-a)x+1=0.由Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3),可知:当Δ>0,即a<-1或a>3时,有两个公共点;当Δ=0,即a=-1或a=3时,有一个公共点;当Δ<0,即-1
h(e),所以,结合函数图象可得,当31时,令g'(x)=0,解得x1=-❑√d2-1❑√3,x2=❑√d2-1❑√3.易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.g(x)的极大值g(x1)=g(-❑√d2-1❑√3)=2❑√3(d2-1)329+6❑√3>0.g(x)的极小值g(x2)=g(❑√d2-1❑√3)=-2❑√3(d2-1)329+6❑√3.若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)<0,即(d2-1)32>27,也就是|d|>❑√10,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6❑√3>0,且-2|d|
