课时跟踪训练(十六)求曲线的方程1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________．2．等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1)，C(0，－3)，则另一顶点A的轨迹方程是________．3．已知两定点A(－1,0)，B(2,0)，动点P满足＝，则P点的轨迹方程是________．4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．5．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1∶2两部分，则Q点的轨迹方程是________．6．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，求点P与Q(0，－1)连线中点M的轨迹方程．7．已知双曲线2x2－2y2＝1的两个焦点为F1、F2，P为动点，若PF1＋PF2＝6，求动点P的轨迹E的方程．8.如图所示，A(m，m)和B(n，－n)两点分别在射线OS，OT上移动，且OA�·OB�＝－，O为坐标原点，动点P满足OP�＝OA�＋OB�.(1)求mn的值；(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？答案1．解析：设动点M(x，y)，到两坐标轴的距离为|x|、|y|.则|x|＝|y|，∴x2＝y2.答案：x2＝y22．解析：设点A的坐标为(x，y)．由已知得AB＝AC，即＝.化简得x＋2y＋1＝0.∵点A不能在直线BC上，∴x≠1，1∴顶点A的轨迹方程为x＋2y＋1＝0(x≠1)．答案：x＋2y＋1＝0(x≠1)3．解析：设P(x，y)，由已知得＝，化简得：x2＋4x＋y2＝0.即(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝44．解析：设P(x，y)，由题知(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.答案：4π5．解析：据题意，OP�＝3OQ�，设P(x′，y′)，Q(x，y)，则又∵P(x′，y′)在2x＋4y＋3＝0上，∴2×(3x)＋4×(3y)＋3＝0，即2x＋4y＋1＝0，即点Q的轨迹方程为2x＋4y＋1＝0.答案：2x＋4y＋1＝06．解：设P(x0，y0)，中点M(x，y)，则∴又P(x0，y0)在曲线y＝2x2＋1上，∴2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.∴点M的轨迹方程为y＝4x2.7．解：依题意双曲线方程可化为－＝1，则F1F2＝2.∴PF1＋PF2＝6>F1F2＝2，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程可设为＋＝1(a>b>0)．由2a＝6,2c＝2得a＝3，c＝1.∴b2＝a2－c2＝8.则所求椭圆方程为＋＝1.故动点P的轨迹E的方程为＋＝1.8．解：(1)由OA�·OB�＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn.得－2mn＝－，即mn＝.(2)设P(x，y)(x>0)，由OP�＝OA�＋OB�，得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)，∴整理得x2－＝4mn，又mn＝，∴P点的轨迹方程为x2－＝1(x>0)．它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．23
