高中数学 第一章 常用逻辑用语单元小结练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

第一章常用逻辑用语单元小结[核心速填]1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题，关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义一般地，若p，则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．3．含逻辑联结词的命题的真假判断(1)p∧q：全真才真，一假则假；(2)p∨q：全假才假，一真则真；(3)﹁p：p与﹁p真假性相反．4．全称量词与全称命题，存在量词与特殊命题(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”“每一个”“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑学中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示；特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．5．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，则﹁p：∃x0∈M，﹁p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)，则﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．[体系构建]1[题型探究]类型一：四种命题关系及其真假判断例1、将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．(1)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．【答案】(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)[规律方法]1.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的真假性相同．2．“p∧q”的否定是“﹁p或﹁q”，“p∨q”的否定是“﹁p且﹁q”．[跟踪训练]1．(1)给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lgx2＝0，则x＝－1”的逆命题；③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】B[对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lgx2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.]2(2)命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2＝0，则a＝0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0【答案】D[命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．故选D.]类型二：充分条件、必要条件与充要条件例1、(1)已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acosA＝bcosB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充分必要条件是a＝__________.【答案】(1)A(2)3[解析](1)由acosA＝bcosB⇒sin2A＝sin2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，故选A.(2)由＝≠...