高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分学业分层测评 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

1.4.1曲边梯形面积与定积分(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．关于定积分m＝dx，下列说法正确的是()A．被积函数为y＝－xB．被积函数为y＝－C．被积函数为y＝－x＋CD．被积函数为y＝－x3【解析】被积函数为y＝－.【答案】B2．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝()A．0B．16C．12D．8【解析】偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16，故选B.【答案】B3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替()A．fB．fC．fD．f(0)【解析】当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．【答案】C4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是()【解析】定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．【答案】D5．定积分f(x)dx的大小()A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关【解析】定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．【答案】A1二、填空题6．定积分(－3)dx＝__________.【解析】由定积分的几何意义知，定积分(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0所围成图形面积的相反数．所以(－3)dx＝－(2×3)＝－6.【答案】－67．定积分|x|dx＝__________.【导学号：05410030】【解析】如图，|x|dx＝＋2＝.【答案】8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．【解析】如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx.【答案】dx三、解答题9．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.【解】(1)3x3dx＝3x3dx＝3＝3＝12.(2)6x2dx＝6x2dx＝6＝6＝126.(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.10．利用定积分的几何意义，求dx的值．【解】y＝(－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，所以dx＝S半圆＝π.[能力提升]1．设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是()A．S＝(x2－x)dxB．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy【解析】作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝(x－x2)dx，选B.2【答案】B2．已知和式S＝(p>0)，当n趋向于∞时，S无限趋向于一个常数A，则A可用定积分表示为()A.dxB.xpdxC.pdxD.pdx【解析】S＝＋p＋p＋…＋＝p·，∴limp·＝xpdx.【答案】B3．定积分2017dx＝________________.【导学号：05410031】【解析】由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x＝2016，x＝2017与y＝2017，y＝0所围成矩形的面积，所以2017dx＝(2017－2016)×2017＝2017.【答案】20174．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．【解】将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.(1)分割在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.把在分段，，…，上所做的功分别记作：ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.(2)近似代替取各小区间的右端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔWi≈F·Δx＝k··(i＝1,2，…，n)．(3)求和Wn＝Wi≈··＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝×＝.从而得到W的近似值W≈Wn＝.(4)取极限W＝limWn＝limWi＝lim＝.所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.3