第2课时正弦定理（二）【基础练习】1．(2019年辽宁大连双基训练)在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】由正弦定理知sinA＝sinC⇒a＝c，故△ABC为等腰三角形．2．已知△ABC的面积为4且a＝4，b＝，则sinC＝()A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，得4＝×4××sinC，∴sinC＝.3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为()A．3B．2C．4D．【答案】C【解析】∵cosC＝，∴sinC＝＝.又∵a＝3，b＝2，∴S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4.故选C．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面积S＝2，则c＝______.【答案】4【解析】∵a＝1，∠B＝45°，根据三角形的面积公式可得S＝acsinB＝×1×c＝2，∴c＝4.5．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大的角度数为________．【答案】75°【解析】设C为最大角，则A为最小角，A＋C＝120°，∴＝＝＝＝·＋＝＋.∴＝1.∴tanA＝1.∴A＝45°，C＝75°.6．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且asinC＝ccosA．(1)求角A；(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a.【解析】(1)由asinC＝ccosA及正弦定理得sinAsinC＝sinCcosA．∵sinC>0，∴上式可化为tanA＝，∴A＝.(2)由S△ABC＝得bcsinA＝，将b＝2，A＝代入，解得c＝2.∴△ABC为正三角形，∴a＝2.7．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．【解析】∵A，B，C是三角形的内角，∴A＝π－(B＋C)．∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC．∴sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0.又0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π，∴B＝C．1又sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∴△ABC是等腰直角三角形．8．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB＝1，bsinA＝，A－B＝.(1)求a的值；(2)求tanA的值．【解析】(1)由正弦定理知，bsinA＝asinB＝，又acosB＝1，∴(asinB)2＋(acosB)2＝3.∵sin2B＋cos2B＝1，∴a＝(舍去负值)．(2)＝，即tanB＝，∵A－B＝，∴A＝B＋.∴tanA＝tan＝＝＝－3－2.【能力提升】9．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是()A．B．(10，＋∞)C．D．(0,10)【答案】C【解析】∵在△ABC中，sinA＝，a＝10，∴由正弦定理＝，得c＝＝＝sinC，∵0＜sinC≤1，∴c的取值范围是.故选C．10．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.【答案】1【解析】在△ABC中，由正弦定理，得＝，解得sinB＝，因为b＜c，故角B为锐角，所以B＝，则A＝，即a＝b＝1.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A＋＝2cosA．(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．【解析】(1)2cos2A＋＝2cosA，即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴(2cosA－1)2＝0，cosA＝.∵0＜A＜π，∴A＝.(2)∵a＝1，∴根据正弦定理＝＝，得b＝sinB，c＝sinC．∴l＝1＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)．∵A＝，∴B＋C＝.∴l＝1＋＝1＋2sin.∵0＜B＜，∴l∈(2,3]．23
