3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，知BA，BM，BN共面．又BA，BM，BN过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb， d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kC． d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D．]2．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则B1M可表示为()A．a＋b＋cB．a－b＋cC．－a－b＋cD．－a＋b＋c【答案】D[由于B1M＝B1B＋BM＝B1B＋(BA＋BC)＝－a＋b＋c，故选D．]3．正方体ABCDA′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2【答案】A[AC′＝AA′＋AD＋AB＝(AB＋AD)＋(AA′＋AD)＋(AA′＋AB)＝AC＋AD′＋AB′＝AO1＋AO3＋AO2，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.]4．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB－OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A．OAB．OBC．OCD．OA或OB【答案】C[因为a－b＝2OC，所以a，b与OC共面，不能构成空间的一个基底．]5．如图3133，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则BE等于()基础篇1图3133A．B．C．D．【答案】C[由图知B(1,1,0)，E，所以BE＝.]二、填空题6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.【答案】1－1[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得]7．如图3134,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝________.图3134【答案】－a＋b－c[B1M＝AM－AB1＝(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－AB＋AD－AA1＝－a＋b－C．]8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图3135所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，则MN的坐标为________.图3135【答案】MN＝[ PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴M，P(0,0,1)，C(－1,1,0)，则N.∴MN＝]三、解答题29．如图3136，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，MA＝－AC，ND＝A1D，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN.图3136【答案】连接AN，则MN＝MA＋AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得AC＝AB＋AD＝a＋b，MA＝－AC＝－(a＋b)，又A1D＝AD－AA1＝b－c，故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－A1D＝b－(b－c)，所以MN＝MA＋AN＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．10．如图3137，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设AB＝a，AD＝b，AP＝C．图3137(1)用向量a，b，c表示BM.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM的坐标.【答案】(1) BM＝BC＋CM，BC＝AD，CM＝CP，CP＝AP－AC，AC＝AB＋AD，∴BM＝AD＋(AP－AC)＝AD＋AP－(AB＋AD)＝－AB＋AD＋AP＝－a＋b＋C．(2)a＝AB＝(1,0,0)，b＝AD＝(0,1,0)． A(0,0,0)，O，P，∴c＝AP＝OP－OA＝，∴BM＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝.1．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的是()A．OM＝OA＋OB＋OCB．MA＝MB＋MC提升篇3C．OM＝OA＋OB＋OCD．MA＝2MB－MC【答案】C[对于选项A，由OM＝xOA...
