第三章导数及其应用单元质量评估(三)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一质点的运动方程为s=20+gt2(g=9.8m/s2),则t=3s时的瞬时速度为()A.20m/sB.29.4m/sC.49.4m/sD.64.1m/s【解析】选B.v=s′(t)=gt,所以当t=3时,v=3g=29.4(m/s).2.已知f(x)在x=x0处的导数为4,则=()A.2B.8C.-8D.1【解析】选B.==2=2f′(x0)=2×4=8.3.函数y=+lnx的单调递减区间是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.(-∞,1)D.(-∞,0)和(0,1)【解析】选B.y′=-+=(x>0),因为当01时y′>0.所以y=+lnx的单调递减区间为(0,1).4.设函数f(x)=x3-4x+4,则f(x)在[0,3]上的最小值为()A.-B.C.1D.01【解析】选A.f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2).令f′(x)=0,解得x1=-2(舍去),x2=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:x0(0,2)2(2,3)3f′(x)-4-0+5f(x)4↘极小值-↗1所以函数f(x)在[0,3]上有极小值-,也是最小值.5.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解析】选B.由函数f(x)的导函数y=f′(x)的图象自左至右是先增后减,可知函数y=f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小.6.若函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.f′(x)=3kx2+6(k-1)x.由题意知3kx2+6(k-1)x≤0,即kx+2k-2≤0在(0,4)上恒成立,得k≤,x∈(0,4),又<<1,2所以k≤.7.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是()【解析】选D.设h(x)=f(x)ex,则h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(ax2+2ax+bx+b+c)ex.由x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,得当x=-1时,ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,所以c=a.所以f(x)=ax2+bx+a.若方程ax2+bx+a=0有两根x1,x2,则x1x2==1,D中图象一定不满足该条件.8.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A.B.C.D.2【解析】选C.设底面边长为x,侧棱长为l,则V=x2·sin60°·l,所以l=,所以S表=2S底+S侧=x2·sin60°+3·x·l=x2+.3令S表′=x-=0,即x3=4V,解得x=.当0时,S表′>0.所以当x=时,表面积最小.9.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)<00,所以f(a)=0时a∈(0,1).又g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.由g(2)=ln2+1>0,g(b)=0得b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,且f(x)=ex+x-2在R上单调递增,所以f(b)>0.综上可知,g(a)<0x1f(x2)+x2f(x1),则称函数f(x)为“H函数”,给出下列函数:①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sinx-cosx);③y=ex+1;④f(x)=其中函数是“H函数”的个数为()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.注意到不等式x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔函数f(x)是在R上的增函数,对于①,注意到当x=0与x=1时,相应的函数值相等,因此函数y=-x3+x+1不是在R上的增函数;对于②,注意到y′=3-2(cosx+sinx)=3-2sin≥3-2>0,因此函数y=3x-2(sinx-cosx)是在R上的增函数;对于③,注意到y′=ex>0,因此函数y=ex+1是在R上的增函数;对于④,注意到当x=1与x=-1时,相应的函数值相等,因此该函数不是在R上的增函数.综上所述,故选C.11.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf4′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选A.记函数g(x)=,则g′(x)=,因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当00,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).12.已知y=f(x)是(0,+∞)上的可导函数,满足(x-1)[2f(x)+xf′(x)]>0(x≠1)恒成立,f(1)=2,若曲线f(x)在点(...
