高中数学 第一章 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程检测（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题VIP专享VIP免费

三、简单曲线的极坐标方程A级基础巩固一、选择题1．极坐标方程ρcosθ＝－6表示()A．过点(6，π)垂直于极轴的直线B．过点(6，0)垂直于极轴的直线C．圆心为(3，π)，半径为3的圆D．圆心为(3，0)，半径为3的圆解析：将ρcosθ＝－6化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．答案：A2．圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心的极坐标是()A.B.C.D.解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.答案：A3．在极坐标系中与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为()A．ρcosθ＝2B．ρsinθ＝2C．ρ＝4sinD．ρ＝4sin解析：将圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcosθ＝2.答案：A4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是()A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝－D．ρ＝解析：设M为所求直线上任意一点(除P外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－.经检验，(1，π)也适合上述方程．答案：C5．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2.答案：B二、填空题6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．解析：因为直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，所以直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.答案：1∶17．圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为___________．解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为.因为圆的半径为3，故圆的直角坐标方程为＋＝19，化为极坐标方程为ρ＝6cos.答案：ρ＝6cos8．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．解析：极坐标系中的圆ρ＝4sinθ转化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0，2)．直线θ＝在直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0，所以圆心(0，2)到直线x－3y＝0的距离为＝.答案：三、解答题9．(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．解：圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.10．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)(ρ2，θ)，则|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．B级能力提升1．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点作曲线C的切线，则切线长为()A．4B.C．2D．2解析：ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)．切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理，得切线长为＝2.答案：C2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其直角坐标方程为x2＋y2＝2y.ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1.联立解得2点(－1，1)的极坐标为.答案：3．在极坐标系中，已知直线ρ的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长．解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，OA＝ODcos或OA＝ODcos，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.(2)由ρsin＝1，得ρ(sinθ＋cosθ)＝1，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，所以直线l过圆C的圆心．因此直线l被圆C所截得的弦长为2.3