高二数学相似三角形的判定及有关性质（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：相似三角形的判定及有关性质二.重点、难点：1.平行线等分线段定理。（三角形，梯形中位线）2.平行线分线段成比例定理3.两个三角形相似的判定（1）两个角对应相等（2）两边对应成比例且夹角相等（3）三边对应成比例4.两个直角三角形的相似（1）一个锐角相等（2）两直角边对应成比例（3）一条直角边和一条斜边与另一个三角形，直角边、斜边对应成比例5.两个三角形相似（1）对应边、对应中线，对应高线对应角平分线、周长的等于相似比（2）面积为相似比的平方（3）两三角形对应的内切圆，外接圆之比为相似比，面积比为相似比的平方【典型例题】[例1]如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE。求证：△ABC∽△ADE。证明： ∠DAB=∠CAE∠BAE=∠EAB∴∠DAE=∠BAC又 AD=AEAB=AC∴∴△ABC∽△ADE[例2]如图ABCD是正方形，E是CD上一点，F是BC延长线上一点，且CE=CF，BE延长线交DF于G。求证：△BGF∽△DGE。用心爱心专心115号编辑证明：由正方形ABCD，DC=BC，∠DCF=∠DCB=90°又CE=CF∴△FDC≌△EBC∠CDF=∠FBG[例3]如图已知点D为斜边BA上的点，点E为AC的中点，分别延长ED和CB交于F，求证：△CDF∽△DBF。证明： 中，CD⊥AB∠DCB+∠CBD=90°∠CAB+∠CBA=90°∴∠CAB=∠DCB又E为AC中点∴ED=EA∴∠EAD=∠EDA又∠EDA=∠BDF∴∠BDF=∠DCB又∠BFD=∠DFC∴△CDF∽△DBF[例4]如图△ABC中，∠C，∠B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E，求证：△BDO∽△BOC∽△OEC。证明：易得AO平分∠BAC，AO⊥DE∴∠ADO=∠AEO∴∠BDO=∠CEO又∠BDO=90°+∠BAC∠BOC=180°－（∠ABC+∠ACB）=90°+∠BAC∴∠BDO=∠BOC又∠DBO=∠OBC∴△BDO∽△BOC同理△ECO∽△OCB∴△BDO∽△BOC∽△OEC[例5]如图AD为△ABC的∠A的平分线，由D向∠C的外角平分线作垂线与AC的延长线交于F点，由D作∠B的平分线的垂线与AB交于E，求证：△ADE∽△AFD。用心爱心专心115号编辑证明：∠ADF=∠ADC+∠CDF=（∠A+∠ABC）+（90°－∠DCF）=90°+∠ABC又∠AED=90°+∠ABC∴∠ADF=∠AED又∠EAD=∠DAF∴△ADE∽△AFD[例6]△ABE中，D、C为AB上两点，AC=AE，，求证：EC平分∠DEB。证明： AE=AC∴即又 ∠A=∠A∴△EAD∽△BAE∴∠1=∠B AE=AC∴∠1+∠2=∠ACE又 ∠3+∠B=∠ACE∴∠2=∠3∴EC平分∠DEB[例7]如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，若AD=BE=AB，求证：∠AED=∠DBC。证明：过A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则AM=BM=MC又∽用心爱心专心115号编辑[例8]已知：在△ABC中，D为BC边上的点，且AD=BD，∠BDE=∠DAC。求证：。证明： AD=BD∴∠B=∠1 ∠2=∠B+∠BDE又∠BDE=∠DAC∴∠2=∠BAC在△AED与△BAC中，∠1=∠B，∠2=∠BAC∴△AED∽△BAC∴ AD=BD∴∴[例9]已知：D、E分别在△ABC的边AC和AB上，BD与CE交于F，其中AE=BE，，，求。证明：取AD中点N，连结EN∴ENBD∴∴ ∴×= =∴===11[例10]如图，在等腰直角△ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF⊥BE，求△CEF的面积。用心爱心专心115号编辑解：作FD⊥AC于D，设FD=x由AB=AC=1，∠A=90°，∠C=45°知∠DFC=45°=∠CDC=DF=xDE=EC－DC=由EF⊥BE，DF⊥EC，∠A=90°知∠BEA=90°－∠FEC=∠EFD∠FDE=∠A∴△ABE∽△DEF∴∴【模拟试题】1.下面能够相似的一组三角形为（）A.两个等腰三角形B.两个直角三角形C.两个等腰直角三角形D.以上都不对2.已知，如图DE//BC，那么在下列比例式中，正确的是（）A.B.C.D.3.如图，BC//DE，AB=6cm，BD=4cm，则△ABC∽△ADE的相似比是（）A.B.C.D.4.已知在△ABC中，三边长分别为2，3，4，已知在△中的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，那么△中的第三边长应该是（）A.2B.C.4D.5.如图，，则下列结论成立的是（）A.△ABE∽△ACDB.△BOD∽△ACDC.D.以上都不成立用心爱心专心115号编辑6.如图所示，ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对7.给出五个命题：①三边对应成比例的两个三角相似；②两边对应成比例且有一角对应...
