3.1.2空间向量的基本定理课时过关·能力提升1.AM是△ABC中BC边上的中线,设⃗AB=¿e1,⃗AC=¿e2,则⃗AM为()A.e1+e2B.12e1−12e2C.e1-e2D.12e1+12e2答案:D2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6⃗OP=⃗OA+2⃗OB+3⃗OC,则()A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C共面D.O,P,A,B,C五点共面解析:由6⃗OP=⃗OA+2⃗OB+3⃗OC,得⃗OP−⃗OA=2(⃗OB−⃗OP)+3(⃗OC−⃗OP),即⃗AP=2⃗PB+3⃗PC,∴⃗AP,⃗PB,⃗PC共面又它们有同一公共点P,∴P,A,B,C四点共面.答案:B★3.已知a,b,c共面,b,c,d也共面,则下列说法正确的是()A.若b与c不共线,则a,b,c,d共面B.若b与c共线,则a,b,c,d共面C.当且仅当c=0时,a,b,c,d共面D.若b与c不共线,则a,b,c,d不共面答案:A4.非零向量e1,e2不共线,使ke1+e2与e1+ke2共线的k=.解析:ke1+e2与e1+ke2共线,则存在唯一的实数x,使ke1+e2=x(e1+ke2),则{k=x,1=kx⇒k=±1.答案:±15.已知D,E,F分别是△ABC中BC,CA,AB上的点,且⃗BD=13⃗BC,⃗CE=13⃗CA,⃗AF=13⃗AB,设⃗AB=¿a,⃗AC=¿b,则⃗DE=.答案:13b−23a6.已知G是△ABC的重心,点O是空间任意一点,若⃗OA+⃗OB+⃗OC=λ⃗OG,则λ=.答案:317.三条射线AB,BC,BB1不共面,若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分,且⃗AC1=x⃗AB+2y⃗BC+3z⃗CC1,求x+y+z的值.解:由题意知AB,BC,BB1不共面,四边形BB1C1C为平行四边形,⃗CC1=⃗BB1,∴{⃗AB,⃗BC,⃗CC1}为一个基底.又由向量加法⃗AC1=⃗AB+⃗BC+⃗CC1,∴x=2y=3z=1.∴x=1,y¿12,z=13,∴x+y+z=116.8.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量⃗OE=k⃗OA,⃗OF=k⃗OB,⃗OG=k⃗OC,⃗OH=k⃗OD.求证:(1)点E,F,G,H共面;(2)AB∥平面EG.分析:(1)要证E,F,G,H四点共面,可先证向量⃗EG,⃗EF,⃗EH共面,即只需证⃗EG可以用⃗EF,⃗EH线性表示;(2)可证明⃗AB与平面EG中的向量⃗EF或⃗EG,⃗EH之一共线.证明:(1)∵⃗OA+⃗AB=⃗OB,∴k⃗OA+k⃗AB=k⃗OB.而⃗OE=k⃗OA,⃗OF=k⃗OB,∴⃗OE+k⃗AB=⃗OF.又⃗OE+⃗EF=⃗OF,∴⃗EF=k⃗AB.同理:⃗EH=k⃗AD,⃗EG=k⃗AC.∵ABCD是平行四边形,∴⃗AC=⃗AB+⃗AD,∴⃗EGk=⃗EFk+⃗EHk,即⃗EG=⃗EF+⃗EH.又它们有同一公共点E,∴点E,F,G,H共面.(2)由(1)知⃗EF=k⃗AB,∴AB∥EF.又AB⊄平面EG,∴AB与平面EG平行,即AB∥平面EG.★9.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且M分⃗PC成定比2,N分PD成定比1,求满足⃗MN=x⃗AB+y⃗AD+z⃗AP的实数x,y,z的值.分析:结合图形,从向量⃗MN出发,利用向量运算法则不断进行分解,直到全部向量都用⃗AB,⃗AD,⃗AP表示出来,即可求出x,y,z的值.2解法一如图所示,取PC的中点E,连接NE,则⃗MN=⃗EN−⃗EM.∵⃗EN=12⃗CD=12⃗BA=−12⃗AB,⃗EM=⃗PM−⃗PE=23⃗PC−12⃗PC=16⃗PC,∴⃗MN=−12⃗AB−16⃗PC.连接AC,则⃗PC=⃗AC−⃗AP=⃗AB+⃗AD−⃗AP,∴⃗MN=−12⃗AB−16(⃗AB+⃗AD−⃗AP)=−23⃗AB−16⃗AD+16⃗AP,∴x=−23,y=−16,z=16.解法二如图所示,在PD上取一点F,使F分⃗PD所成比为2,连接MF,则⃗MN=⃗MF+⃗FN,而⃗MF=23⃗CD=−23⃗AB,⃗FN=⃗DN−⃗DF=12⃗DP−13⃗DP=16⃗DP=16(⃗AP−⃗AD),∴⃗MN=−23⃗AB−16⃗AD+16⃗AP,∴x=−23,y=−16,z=16.解法三∵⃗MN=⃗PN−⃗PM=12⃗PD−23⃗PC¿12(⃗PA+⃗AD)−23(⃗PA+⃗AC)=−12⃗AP+12⃗AD−23(−⃗AP+⃗AB+⃗AD)3=−23⃗AB−16⃗AD+16⃗AP,∴x=−23,y=−16,z=16.4
