（新课改省份专用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测（五十四）破题上——着眼4点找到解题突破口（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

课时跟踪检测（五十四）破题上——着眼4点找到解题突破口1．已知椭圆C经过点，且与椭圆E：＋y2＝1有相同的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4交于点Q，问：以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)椭圆E的焦点为(±1,0)，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2.设P(xP，yP)，则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P.假设存在定点M(s，t)满足题意，因为Q(4,4k＋m)，则MP＝，MQ＝(4－s,4k＋m－t)，所以MP·MQ＝(4－s)＋(4k＋m－t)＝－(1－s)－t＋(s2－4s＋3＋t2)＝0恒成立，故解得所以存在点M(1,0)符合题意．2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，点A(3,0)，P是C上的动点，F为C的左焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．解：(1)依题意得解得∴椭圆C的方程是＋＝1.(2)设P(x0，y0)(－＜y0＜，y0≠0，x0＞0)，线段AP的中点为M，则AP的中点M，直线AP的斜率为，由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，∴直线AP的垂直平分线方程为y－＝－，令x＝0得B，∵＋＝1，∴B，∵F(－2,0)，∴四边形FPAB的面积S＝＝≥5，当且仅当2|y0|＝，即y0＝±时等号成立，四边形FPAB面积的最小值为5.3．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围．解：(1)将x＝－c代入椭圆的方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，故a＝2b2.又e＝＝，则＝，即a＝2b，所以a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由PM是∠F1PF2的角平分线，可得＝，即＝.设点P(x0，y0)(－2＜x0＜2)，又点F1(－，0)，F2(，0)，M(m,0)，则|PF1|＝＝2＋x0，|PF2|＝＝2－x0.又|F1M|＝|m＋|，|F2M|＝|m－|，且－＜m＜，所以|F1M|＝m＋，|F2M|＝－m.所以＝，化简得m＝x0，而－2＜x0＜2，因此－＜m＜.故实数m的取值范围为.4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由得x2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝0，x1x2＝，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，因为F2A＝(x1－3，y1)，F2B＝(x2－3，y2)，所以F2A·F2B＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，所以有＝－8，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，所以离心率e＝.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，由题可知A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，又＝＝－，即k2＝－，由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.即直线PB的斜率k2∈.