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(新课改省份专用)高考数学一轮复习 课时跟踪检测(五十四)破题上——着眼4点找到解题突破口(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

(新课改省份专用)高考数学一轮复习 课时跟踪检测(五十四)破题上——着眼4点找到解题突破口(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学试题_第1页
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课时跟踪检测(五十四)破题上——着眼4点找到解题突破口1.已知椭圆C经过点,且与椭圆E:+y2=1有相同的焦点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4交于点Q,问:以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)椭圆E的焦点为(±1,0),设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),则解得所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)联立消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即m2=3+4k2.设P(xP,yP),则xP==-,yP=kxP+m=-+m=,即P.假设存在定点M(s,t)满足题意,因为Q(4,4k+m),则MP=,MQ=(4-s,4k+m-t),所以MP·MQ=(4-s)+(4k+m-t)=-(1-s)-t+(s2-4s+3+t2)=0恒成立,故解得所以存在点M(1,0)符合题意.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,点A(3,0),P是C上的动点,F为C的左焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P在y轴的右侧,以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上,求四边形FPAB面积的最小值.解:(1)依题意得解得∴椭圆C的方程是+=1.(2)设P(x0,y0)(-<y0<,y0≠0,x0>0),线段AP的中点为M,则AP的中点M,直线AP的斜率为,由△ABP是以AP为底边的等腰三角形,可得BM⊥AP,∴直线AP的垂直平分线方程为y-=-,令x=0得B,∵+=1,∴B,∵F(-2,0),∴四边形FPAB的面积S==≥5,当且仅当2|y0|=,即y0=±时等号成立,四边形FPAB面积的最小值为5.3.椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围.解:(1)将x=-c代入椭圆的方程+=1,得y=±.由题意知=1,故a=2b2.又e==,则=,即a=2b,所以a=2,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由PM是∠F1PF2的角平分线,可得=,即=.设点P(x0,y0)(-2<x0<2),又点F1(-,0),F2(,0),M(m,0),则|PF1|==2+x0,|PF2|==2-x0.又|F1M|=|m+|,|F2M|=|m-|,且-<m<,所以|F1M|=m+,|F2M|=-m.所以=,化简得m=x0,而-2<x0<2,因此-<m<.故实数m的取值范围为.4.(2018·沈阳模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=6,直线y=kx与椭圆交于A,B两点.(1)若△AF1F2的周长为16,求椭圆的标准方程;(2)若k=,且A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e的值;(3)在(2)的条件下,设P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线PA的斜率k1∈(-2,-1),试求直线PB的斜率k2的取值范围.解:(1)由题意得c=3,根据2a+2c=16,得a=5.结合a2=b2+c2,解得a2=25,b2=16.所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由得x2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).所以x1+x2=0,x1x2=,由AB,F1F2互相平分且共圆,易知,AF2⊥BF2,因为F2A=(x1-3,y1),F2B=(x2-3,y2),所以F2A·F2B=(x1-3)(x2-3)+y1y2=x1x2+9=0.即x1x2=-8,所以有=-8,结合b2+9=a2,解得a2=12,所以离心率e=.(3)由(2)的结论知,椭圆方程为+=1,由题可知A(x1,y1),B(-x1,-y1),k1=,k2=,所以k1k2=,又==-,即k2=-,由-2<k1<-1可知,<k2<.即直线PB的斜率k2∈.

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