高中数学第1章导数及其应用1.3.1单调性自主练习苏教版选修2-2我夯基我达标1.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于()A.0B.-4C.-2D.2思路解析：f′(x)=2x+2f′(1),可令x=1，则f′(1)=-2，∴f′(0)=-4.答案:B2.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则()A.a≤0B.a＜1C.a＜2D.a≤思路解析：f′(x)=3ax2-1≤0恒成立，即a≤0.答案:A3.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是()A.增函数B.减函数C.在(0,π)上增，在(π,2π)上减D.在(0，π)上减，在(π,2π)上增思路解析：f′(x)=1-cosx＞0恒成立，所以f(x)在(0，2π)上为增函数.答案:A4.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围是________________.思路解析：因为f(x)=x3+x2+mx+1在R上单调.f′(x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在R上只能递增,所以Δ=4-12m＜0.所以m＞.答案:m＞5.若函数f(x)=x3-px2+2m2-m+1的单调减区间为(-2,0),则p值的集合为_______________.思路解析：∵f′(x)=3x2-2px,而g(x)=f′(x)=3x2-2px的图象为开口向上并过原点的抛物线,由于f(x)的单调减区间为(-2,0),∴g(x)在(-2,0)上为负值,在(-∞,-2)及(0,+∞)上为正值,故g(-2)=0,即12+4p=0.∴p=-3.答案:{-3}6.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2相切,则k的值为______________.思路解析：y′=3x2-6x的切点坐标为(x0,y0),则y0=3x02-6x0,又y0=x03-3x02.所以切点坐标为x0=0或x0=3±.∴k=0或3±.答案:0或3±我综合我发展7.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上f′(x)＞0,且有f(2a2+a+1)＜f(-3a2+2a-1)，求a的取值范围.思路分析:偶函数在对称区间上有相反的单调性,奇函数有相同的单调性,利用单调性进行转化需考虑范围.解:∵在(-∞,0)上,f′(x)＞0,∴f(x)在(-∞,0)上为增函数.又f(x)为偶函数，∴f(x)在(0,+∞)上为减函数，且f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1).∴原不等式可化为f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1).又2a2+a+1＞3a2-2a+1,解得0＜a＜3为所求的a的取值范围.8.当x∈(0,)时,证明tanx＞x.1思路分析:首先构造函数f(x)=tanx-x,然后判断f(x)在(0,)上的单调性.证明:设f(x)=tanx-x,x∈(0,),∴f′(x)=()′-1==tan2x＞0.∴f(x)在(0,)上为增函数.又∵f(x)=tanx-x在x=0处可导,且f(0)=0,∴当x∈(0,)时,f(x)＞f(0)恒成立,即tanx-x＞0.∴tanx＞x.9.已知函数y=ax与y=在区间(0,+∞)上都是减函数，确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.思路分析:由前两函数的单调性确定出a、b的符号，再根据f′(x)＞0或f′(x)＜0,求出单调区间.解:∵函数y=ax与y=在(0,+∞)上都是减函数，∴a＜0,b＜0.由y=ax3+bx2+5，得y′=3ax2+2bx.令y′＜0，即3ax2+2bx＜0，∴＜x＜0.因此,当x∈(,0)时,函数为减函数.令y′＞0,即3ax2+2bx＞0,∴x＜或x＞0.因此,当x∈(-∞,)或x∈(0,+∞)时函数为增函数.2
