考点规范练27数列的概念与简单表示法基础巩固组1.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为()A.an=2n-1B.an=(-1)n(2n-1)C.an=(-1)n+1(2n-1)D.an=(-1)n(2n+1)答案C解析由数列中的项为1,-3,5,-7,9,…可以看出:符号正负相间,各项的绝对值为1,3,5,7,9…恰好构成一等差数列,设其为{bn},则其通项公式为bn=2n-1.因此数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).故选C.2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a4的值为()A.4B.6C.8D.10答案C解析由题意得a4=S4-S3=20-12=8.3.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=32(an-1)(n∈N*),则an=()A.3(3n-2n)B.3n+2C.3nD.3·2n-1答案C解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=32(an-1)-32(an-1-1),整理,得an=3an-1,即anan-1=3,由a1=32(a1-1),得a1=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n.故选C.4.(2018浙江浦江模拟)在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2019=()A.8B.6C.4D.2答案C解析由题意可得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8;观察可知数列{an}中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6.故从第3项开始算起,2019-2=2017,2017=336×6+1,a2019=a3=4,应选C.5.若数列{an}满足an+1+an=2n-3,a1=2,则a8-a4=()A.7B.6C.5D.4答案D解析依题意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.6.已知数列{an}中,首项a1=1,an=an-1·3n-1(n≥2,n∈N*),则数列{bn}的通项公式为.答案an=3n(n-1)2解析 an=anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1=3n-1·3n-2·…·3·1=3n(n-1)2,又a1也满足上式,∴an=3n(n-1)2.17.若数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=.答案3n解析a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3¿¿+3,把n替换成n-1得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两项相减得an=3n.8.若数列{an}满足a1=2,an+1=1+an1-an(n∈N*),则该数列的前2018项的乘积a1·a2·a3·…·a2018=.答案-6解析经计算,得a1=2,a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,…则数列{an}是以4为周期的一个周期数列. a1a2a3a4=1,∴a1·a2·…·a2013·a2014·a2018=2×(-3)=-6.能力提升组9.已知数列{an}中的任意一项都为正实数,且对任意m,n∈N*,有am·an=am+n,如果a10=32,那么a1的值为()A.-2B.2C.√2D.-√2答案C解析令m=1,则an+1an=a1,所以数列{an}是以a1为首项,公比为a1的等比数列,从而an=a1n,因为a10=512,所以a1=√2.10.(2018浙江春晖中学模拟)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99=()A.100B.2C.-2D.-100答案C解析因为y'=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线斜率为n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=1-1n+1=nn+1,所以an=lgxn=lgnn+1.所以a1+a2+…+a99=lg(12×23×…×99100)=lg1100=-2.11.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=anan+2(n∈N*).若bn+1=(n-λ)·(1an+1),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为()A.λ>2B.λ>3C.λ<2D.λ<3答案C解析由已知可得1an+1=2an+1,1an+1+1=2(1an+1).2又1a1+1=2≠0,则1an+1=2n,bn+1=2n(n-λ),bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,故bn=2n-1(n-1-λ)(n∈N*).由bn+1>bn,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ0.∴an+1>an.∴数列{an}是单调递增数列,由an+1-1=an2-an=an(an-1),∴1an+1-1=1an(an-1)=1an-1−1an.∴1an=1an-1−1an+1-1.∴m=1a1+1a2+…+1a2017=(1a1-1-1a2-1)+(1a2-1-1a3-1)+…+(1a2017-1−1a2018-1)=1a1-1−1a2018-1=3-1a2018-1.由a1=43>1,则an+1-an=(an-1)2>0,∴a2=1+49,a...
