高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系达标训练 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题VIP免费

一平面直角坐标系更上一层楼基础·巩固1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换.3,5yyxx后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为()A.25x2+36y2=0B.9x2+100y2=0C.10x+24y=0D.252x2+98y2=0思路解析：将坐标直接代入新方程,即可得原来的曲线方程.将yyxx3,5直接代入2x′2+8y′2=0,得2(5x)2+8(3y)2=0,即25x2+36y2=0为所求曲线C的方程.答案：A2△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_______.思路解析：取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则B(-2,0)、C(2,0),设A(x,y),则D(0,0),所以|AD|=22yx.答案：x2+y2=9(y≠0)3在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换.31,21yyxx后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.思路分析：根据变换公式,分清新旧坐标代入即可.解：(1)由伸缩变换yyxx31,21,得,3,2yyxx.将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.经过伸缩变换后,直线仍然是直线.(2)将,3,2yyxx代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是914122yx=1.经过伸缩变换后,圆变成了椭圆.4在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.思路分析：x2-36y2-8x+12=0可化为(24x)2-9y2=1,①x′2-y′2-4x′+3=0可化为(x′-2)2-y′2=1,②1比较①②，可得x′-2=24x,y′=3y.解：伸缩变换为yyxx3,21将曲线x2-36y2-8x+12=0所在的坐标系的x轴扩大到原来的2倍,y轴伸长到原来的3倍,就可得到曲线x′2-y′2-4x′+3=0的图象.5已知△ABC，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且有BD∶DC=AE∶EB=CF∶FA.求证：△DEF与△ABC的重心重合.思路分析：根据三角形的特点建立坐标系，利用重心坐标公式求解.证明：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：设A(a,b),B(0,0),C(c,0),由重心G(3,3bca),设FACFEBAEDCBD=λ.则点D(,1c0),E(1,1bac),F(aba1,1).由重心坐标公式，可知△DEF的重心G′的坐标为：(3110,3111bbaacc=(3,3bca).∴G与G′重合.也就是△DEF和△ABC的重心重合.6已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，sinB-sinC=21sinA，求点A的轨迹.思路分析：由于顶点A为动点，所以应该以底边为x轴建立坐标系，利用正弦定理求解.解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xOy坐标系，这时B(-6,0)，C(6,0)，由sinB-sinC=21sinA,得b-c=21a=6,即|AC|-|AB|=6.所以，点A的轨迹是以B(-6,0)，C(6,0)为焦点，2a=6的双曲线的左支.其方程为27922yx=1(x<-3).综合·应用7如图1-1-5，已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线m于点A，又过B、C作⊙O′异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P.图1-1-52（1）求点P的轨迹方程;（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分MN所成比等于2∶3，求直线l的方程.思路分析：先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标,列出方程组求点M、N的坐标,从而求出直线方程.解：（1） |PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|.∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是2222byax=1(a＞b＞0). a=9,c=3,∴b2=72.∴P点的轨迹方程是728122yx=1(y≠0).（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2), C(3,0)分MN所成的比为32,∴.32,325.321320,32132321212121yyxxyyxx∴728122yx=1.∴,172)32(81)325(2222yx①又72812222yx=1,②由①②消去y2,得)811(94)325(8112222xx=1.解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.8如图1-1-6，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米...