高中数学 5.3 不等式的证明 5.3.2 综合法和分析法自我小测 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.3.2综合法和分析法自我小测1设a、b∈R＋，A＝＋，B＝，则A、B的大小关系是________．2设a、b、c∈R＋，若a＋b＋c＝1，则＋＋≥________.3下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a，其中能使＜成立的充分条件有________．4给出下列四个命题：①若a＞b＞0，则＞；②若a＞b＞0，则a－＞b－；③若a＞b＞0，则＞；④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.其中正确命题的序号是________．5证明对任意实数x、y，有x4＋y4≥xy(x＋y)2.6设x、y都是正数，求证：(x＋y)2＋(x＋y)≥x＋y.7已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________．8已知a，b，m都是正数，在空白处填上适当的不等号：(1)当a________b时，＞；(2)当a________b时，≤.9已知实数a、b、c＞0，求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)·(a＋b＋c)．10已知：a、b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.求证：1＜a＋b＜.1参考答案1．A＞B解析：∵(＋)2＝a＋2＋b，∴A2－B2＝2.∴A2－B2＞0.又A＞0，B＞0，∴A＞B.2．93．①②④解析：①a＜0＜b⇒＜0，＞0⇒＜；②b＜a＜0⇒＜；③b＜0＜a⇒＞；④0＜b＜a⇒＜.故选①②④.4．②解析：①a＞b＞0，则＜，故①错；②a＞b＞0，则－＞－，故②对；③中－＝＝＜0，故③错；④因为a－b不能确定为正数，故④错．5．证明：要证x4＋y4≥xy(x＋y)2.只需证2(x4＋y4)≥x3y＋xy3＋2x2y2.只需证不等式②显然成立，下面证明不等式①.(x4＋y4)－(x3y＋xy3)＝(x－y)(x3－y3)．∵x－y与x3－y3同号．∴(x－y)(x3－y3)≥0，即x4＋y4≥x3y＋xy3.∴x4＋y4≥xy(x＋y)2.6．证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x＋4y⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2(2＋2)．∵x＋y≥2＞0，∴只需证2(x＋y)＋1≥2＋2，即证＋≥＋，而x＋≥2＝，y＋≥2＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立．∴(x＋y)2＋(x＋y)≥x＋y.7．解析：∵－≤xy≤.∴(x2＋y2)≤x2＋xy＋y2≤(x2＋y2)．又∵1≤x2＋y2≤2.∴≤z≤3.8．(1)＞(2)≤解析：(1)＞⇔ab＋am＞ab＋bm⇔am＞bm⇔a＞b；(2)≤⇔a(b＋m)≤b(a＋m)⇔am≤bm⇔a≤b.9．证明：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，即a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加，得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2，∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．10．证明：∵a、b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.2∴a2＋ab＋b2＝a＋b.∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.∴a＋b＞1.要证a＋b＜，只需证3(a＋b)＜4.只需证3(a＋b)2＜4(a＋b)．即3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)．只需证a2－2ab＋b2＞0.只需证(a－b)2＞0.而a、b为不相等的正数．∴(a－b)2＞0一定成立．故而a＋b＜成立．综上，1＜a＋b＜.3