三圆的切线的性质及判定定理课时过关·能力提升基础巩固1下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④解析与圆有公共点的直线,可能是切线,也可能与圆相交,则①不正确;②不符合切线判定定理的条件,缺少过半径外端的条件;很明显③④正确.答案C2如图,PA为☉O的切线,A为切点,已知PA=4,OA=3,则cos∠APO的值为()A.34B.35C.45D.43解析由PA为☉O的切线,知OA⊥PA.在Rt△OAP中,由勾股定理,得OP=√OA2+AP2=5.故cos∠APO=PAOP=45.答案C13如图,已知CB为☉O的直径,P是CB的延长线上一点,且OB=BP,∠AOC=120°,则PA与☉O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析如图,连接AB. ∠AOC=120°,∴∠AOB=60°.又OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB.又OB=BP,∴AB=BP,∴∠P=∠BAP.又∠OBA=60°,∴∠P=30°.又∠AOB=60°,∴∠OAP=90°.∴OA⊥AP,则PA与☉O相切.答案B4如图,已知AB与☉O切于点B,AO=6cm,AB=4cm,则☉O的半径r等于()A.4√5cmB.2√5cmC.2√13cmD.√13cm解析如图,连接OB,则OB=r且OB⊥AB,2故OB=r=√OA2-AB2=√36-16=2√5(cm).答案B5如图,已知在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,则弦AB的长为cm.解析如图,连接OA,OC,OB,则OC⊥AC.又OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.∴AC=CB.由题意知,OA=5cm,OC=3cm,∴AC=√OA2-OC2=4(cm).∴AB=2AC=8(cm).答案86已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,AB=12,AC=6,以C为圆心,作与AB相切的圆C,则☉C的半径r=.3解析如图,设切点为D,连接CD,则CD⊥AB,CD=r. AC⊥CB,∴CD2=AD·BD.又AB=12,AC=6,AC2=AD·AB,∴AD=AC2AB=6212=3.∴BD=AB-AD=12-3=9.∴CD2=3×9=27,∴CD=3√3.答案3√37如图,DB,DC是☉O的两条切线,A是圆上一点,已知∠D=46°,则∠A=.解析如图,连接OB,OC,则OB⊥BD,OC⊥CD,故∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°,则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°,所以∠A=12∠BOC=12×134°=67°.答案67°84如图,已知圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作圆的切线l,过点A作直线l的垂线AD,点D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为.解析如图,连接OC,连接BE交OC于点F,则OC⊥l,BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC,OC⊥BE.又直径AB=8,则OB=OC=4.又BC=4,故△OBC是等边三角形.则F是OC的中点.所以AE=2OF=OC=4.答案49如图,BE是☉O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为点C,连接OD,且∠AOD=∠APC.求证:AP是☉O的切线.证明连接OP,如图. PD⊥BE,∴∠OCD=90°.∴∠ODC+∠COD=90°. OD=OP,5∴∠ODC=∠OPC. ∠AOD=∠APC,∴∠OPC+∠APC=90°.∴∠APO=90°,即AP⊥PO.∴AP是☉O的切线.10如图,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3cm,BE=7cm,求☉O的半径r.解如图,连接OC. MN切半圆于点C,∴OC⊥MN. AD⊥MN,BE⊥MN,∴AD∥OC∥BE. OA=OB,∴CD=CE.∴OC=12(AD+BE)=12×(3+7)=5(cm).∴☉O的半径为5cm.能力提升1如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,D是AB上一点,且AD=2DB,以D为圆心,DB为半径的圆与AC相切,则sinA等于()6A.√33B.13C.12D.√55解析如图,设AC与圆相切于E点,连接DE,则DE⊥AC,DE=DB,则AD=2ED,故在Rt△ADE中,sinA=12.故选C.答案C2如图,已知PB与☉O相切于点B,OP交☉O于点A,BC⊥OP于点C,OA=3,OP=4,则AC等于()A.34B.43C.35D.不确定解析如图,连接OB,则OB⊥PB,OB=OA=3.又BC⊥OP,∴在Rt△OBP中,有OB2=OC·OP.∴OC=OB2OP=94.∴AC=OA-OC=3-94=34.答案A73如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AD=2,BC=6,若以AB为直径的☉O与CD相切于点E,则DE等于()A.√3B.2√3C.4D.8解析如图,连接OE,过点D作DF∥AB.在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,以AB为直径的☉O与DC相切于点E,故OE⊥CD,OE是梯形ABCD的中位线,OE=12(BC+AD),即OE=2+62=4,AB=8, AD∥BC,AB∥DF,∴四边形ABFD是平行四边形,BF=AD=2,CF=BC-BF=6-2=4,DF=AB=8,CD=√DF2-CF2=√82-42=4√3.∴DE=2√3.故选B.答案B4已知△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.如图,若AB为直径,则要使得EF是☉O的切线,还需添加的条件是(必须写出三种情况):①或②或③.答案答案不...
