第二节空间几何体的表面积和体积A组基础题组1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是()A.4πSB.2πSC.πSD.2❑√33πS答案A由πr2=S得圆柱的底面半径是❑√Sπ,故侧面展开图的边长为2π·❑√Sπ=2❑√πS,所以圆柱的侧面积是4πS,故选A.2.在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,则将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A.4πB.(4+❑√2)πC.6πD.(5+❑√2)π答案D 在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱减去一个底面半径为1,高为2-1=1的圆锥的组合体,∴几何体的表面积S=π×12+2π×1×2+π×1×❑√12+12=(5+❑√2)π.3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.1B.12C.13D.14答案C通解:该几何体的直观图为四棱锥S-ABCD,如图,SD⊥平面ABCD,且SD=1,四边形ABCD是平行四边形,且AB=DC=1,连接BD,由题意知BD⊥DC,BD⊥AB,且BD=1,所以S四边形ABCD=1,所以VS-ABCD=13S四边形ABCD·SD=13,故选C.优解:由三视图易知该几何体为锥体,所以V=13Sh,其中S指的是锥体的底面积,即俯视图中四边形的面积,易知S=1,h指的是锥体的高,从正视图和侧视图易知h=1,所以V=13Sh=13,故选C.4.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示,则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A.63πB.72πC.79πD.99π答案A由三视图得,凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体,其中半球的半径为3,体积为12×43π×33=18π,圆柱的底面半径为3,高为5,体积为π×32×5=45π.所以凿去部分的体积为18π+45π=63π.故选A.5.(2019福建福州模拟)已知圆锥的高为3,底面半径为❑√3,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积为()A.83πB.323πC.16πD.32π答案B设该圆锥的外接球的半径为R,依题意得,R2=(3-R)2+(❑√3)2,解得R=2,所以所求球的体积V=43πR3=43π×23=323π,故选B.6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.64-16π3B.64-32π3C.64-16πD.64-64π3答案A由三视图可知,该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥,其中,两个圆锥的体积和V锥=13Sh=13×π×22×4=163π,∴V=V正方体-V锥=43-163π=64-163π.7.(2018山西太原模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A.6π+1B.(24+❑√2)π4+1C.(23+❑√2)π4+12D.(23+❑√2)π4+1答案D由几何体的三视图知,该几何体为一个组合体,其下部是底面直径为2,高为2的圆柱,上部是底面直径为2,高为1的圆锥的四分之一,所以该几何体的表面积为4π+π+34π+❑√24π+1=(23+❑√2)π4+1,故选D.8.(2019河北衡水二模)如图是某个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是()A.π+4❑√2+4B.2π+4❑√2+4C.2π+4❑√2+2D.2π+2❑√2+4答案B由三视图可知,该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成的几何体.其直观图如图所示,其表面积S=12×2π×1+12×π×12×2+1×2+2×12×❑√2×❑√2+2×❑√2×2=2π+2+2+4❑√2=2π+4❑√2+4,故选B.9.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案2解析由题意可知四棱锥的底面是平行四边形,其面积为2×1=2m2,四棱锥的高为3m,所以四棱锥的体积V=13×2×1×3=2m3.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为.答案7解析设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r,由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7.11.已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=❑√2,若球O的表面积为4π,则SA=.答案1解析根据已知把S-ABC补成如图所示的长方体.因为球O的表面积为4π,所以球O的半径R=1,2R=❑√SA2+1+2=2,解得SA=1.12.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球,现从该三棱锥顶端向锥内注水,小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切(小球完全浮在水面上方),求小球的表面积.解析由题意知,没有水的部...
