2.2.2椭圆的简单几何性质（一）课后导练基础达标1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是（）A.(-1,0)、(1,0)B.(-6,0)、(6,0)C.(-6，0)、(6,0)D.(0,-6)、(0,6)答案：D2.已知椭圆C:2222byax=1与椭圆8422yx=1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是（）A.4822yx=m2(m≠0)B.64622yx=1C.2822yx=1D.以上都不可能答案：A3.曲线252x+92y=xy()A.仅关于x轴对称B.仅关于y轴对称C.关于原点对称D.以上都不对答案：C4.已知椭圆2222byax=1与椭圆162522yx=1有相同的长轴，椭圆2222byax=1的短轴长与椭圆92122xy=1的短轴长相等，则（）A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9答案：D5.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是_____________.答案：208022yx=16.如右图，直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为______________________.1答案：5527.椭圆过（3，0）点，离心率e=36，求椭圆的标准方程.解：当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=3,ac=36,∴c=6.从而b2=a2-c2=9-6=3,∴椭圆的方程为3922yx=1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3,ac=36,∴aba22=36.∴a2=27.∴椭圆的方程为27922yx=1.∴所求椭圆的方程为27922yx=1或3922yx=1.8.如右图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为510，求这个椭圆的方程.分析：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是22ax+22by=1(a＞b＞20)，再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.解：设椭圆方程为2222byax=1(a＞b＞0).由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形.于是|OB2|=|OF|，即b=c.又|FA|=510,即a-c=510，且a2=b2+c2.将以上三式联立，得方程组222,510,cbacacb解得a2=10，b2=5.因此，所求椭圆的方程为51022yx=1.综合运用9.如右图，已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离是3，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y轴上的椭圆的焦点坐标、离心率.解析：由题设条件及椭圆定义知2a=4c；且a-c=3.∴c=3，a=23，b2=a2-c2=9.当焦点在x轴上时，所求的方程为91222yx=1；当焦点在y轴上时，所求的方程为12922yx=1.对后一个方程，离心率e=ac=21，焦点坐标为（0，±3）.310.已知F1、F2是椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为e=23，求此椭圆方程.解析：由题意可得23,164aca.a=4，c=23，∴b2=16-12=4.所求椭圆方程为41622yx=1.拓展探究11.(2006全国Ⅰ，文20)设P是椭圆22ax+y2=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值.解：依题意可设P（0，1），Q（x,y)则|PQ|=22)1(yx又因为Q在椭圆上，所以x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2=(1-a2)(y-211a)2-211a+1+a2因为|y|≤1,a＞1,若a≥2,则|211a|≤1,当y=211a时，|PQ|取最大值11222aaa;若1＜a＜2,则当y=-1时|PQ|取最大值2.4
